En matemática, la identidad de Proizvolov es una identidad relativa a la suma de diferencias de números enteros positivos. La identidad fue propuesta por Vyacheslav Proizvolov como un problema en las Olimpiadas Soviéticas de Estudiantes de 1985 (Savchev y Andreescu, 2002, p. 66).

Para formular la identidad, se toman los primeros 2N enteros positivos,

1, 2, 3, ..., 2N − 1, 2N,

y se realiza una partición de ellos en dos subconjuntos de N números cada uno. Se reagrupa un subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de menor a mayor (orden creciente):

${\displaystyle A_{1}<A_{2}<\cdots <A_{N}.}$

Se reagrupa el otro subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de mayor a menor (orden decreciente):

${\displaystyle B_{1}>B_{2}>\cdots >B_{N}.}$

Entonces la suma

${\displaystyle |A_{1}-B_{1}|+|A_{2}-B_{2}|+\cdots +|A_{N}-B_{N}|}$

es siempre igual a N².

Tómese por ejemplo N = 3. El conjunto de números es entonces {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se seleccionan tres números de este conjunto, por ejemplo el 2, 3 y 5. Entonces las secuencias A y B son:

A₁ = 2, A₂ = 3, y A₃ = 5;

B₁ = 6, B₂ = 4, y B₃ = 1.

La suma es

${\displaystyle |A_{1}-B_{1}|+|A_{2}-B_{2}|+|A_{3}-B_{3}|=|2-6|+|3-4|+|5-1|=4+1+4=9,}$

la cual indica que es igual a 3².

• Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2002), Mathematical miniatures, Anneli Lax New Mathematical Library 43, Mathematical Association of America, ISBN 088385645X ..

• Proizvolov's identity en cut-the-knot.org
• Miguel Ángel Morales Medina. «La identidad de Proizvolov». gaussianos.com. Consultado el 2 de junio de 2011.