Calcul canonique de la date de Pâques julienne

Le calcul canonique de la date de Pâques julienne a été établi au VI^e siècle, selon la tradition, par le moine byzantin Denys le Petit. Ce calcul applique strictement la définition de la date de Pâques établie par le Concile de Nicée en 325. Le calcul canonique de la date de Pâques dépend de la périodicité à la fois de l'année solaire et du mois lunaire. Pour l'année solaire, il se fonde sur le calendrier julien qui, avec une année bissextile tous les quatre ans, pose que l'année solaire dure 365 jours un quart. Pour le mois lunaire, il se base sur le cycle de Méton selon lequel il y a exactement 235 mois lunaires en 19 années terrestres.

Le principe du calcul consiste à mettre en correspondance le cycle solaire (appelé aussi équation solaire), qui permet de calculer quels jours de l'année sont des dimanches, et le cycle lunaire (appelé aussi équation lunaire) qui permet, lui, de déterminer la date des Nouvelles Lunes.

Pour une année donnée, l'équation solaire est spécifiée par l'un ou l'autre de deux paramètres : le Cycle solaire ou la Lettre dominicale qui sont équivalents (à une transformation près par une table ou une formule) ; l'équation lunaire est de même spécifiée par l'un ou l'autre de deux paramètres : le Nombre d'or ou l'Épacte qui sont aussi équivalents (à une transformation près par une table ou une formule).

Le calcul canonique de la date de Pâques julienne utilise comme paramètres le Cycle solaire et le Nombre d'or.

Puisque, selon le cycle de Méton, il y a, en 19 ans, 235 Nouvelles Lunes, on peut répartir celles-ci sur un cycle de 19 années. Cela conduit à la construction d'un calendrier lunaire^[1] qui donne, pour chaque mois de chacune des 19 années du cycle, les dates des Nouvelles Lunes^{[Note 1]}. Pour une année donnée, connaissant sa position dans le cycle de 19 ans (son Nombre d'or), on trouve dans ce calendrier les Nouvelles Lunes de mars et d'avril, et par conséquent le quatorzième jour de la Lune qui tombe le 21 mars ou immédiatement après.

D'autre part, les jours de la semaine de chaque année suivent un cycle de 28 ans (Cycle solaire) qui permet de déterminer le jour de la semaine au 1^er janvier de l'année (Lettre dominicale) d'où on déduit facilement les dates de l'année, en particulier celles de mars et d'avril, qui sont un dimanche. Il découle de ces deux cycles de 19 ans et de 28 ans, que le cycle julien pour la date de Pâques est de 532 ans au bout desquels les mêmes dates se répètent.

On trouve alors le premier dimanche qui tombe immédiatement après le quatorzième jour de la Lune. C'est le dimanche de Pâques^{[Note 2]}.

Le calcul canonique de la date de Pâques utilise une lune fictive, dite lune de Méton, selon laquelle il y a exactement 235 mois lunaires^{[Note 3]} en 19 années terrestres. Il s'agit d'une bonne approximation, dérivant toutefois actuellement d'un jour tous les 219 ans environ. Le comput de la date de Pâques julienne méconnaît cette dérive et considère le cycle de Méton comme valable indéfiniment.

Selon le Cycle de Méton, au cours d'un cycle 19 années terrestres se produisent 235 mois lunaires. Chaque année du cycle de dix-neuf ans est numérotée de 1 à 19 et le numéro du cycle pour une année donnée est appelé le Nombre d'or^{[Note 4]} de l'année. Par définition, le Nombre d'or de l'an 1 vaut 2 ; on le calcule donc facilement par la formule suivante :

Nombre d'or = RESTE [Année / 19] + 1

Puisque les Nouvelles lunes se reproduisent à date fixe sur un cycle de 19 ans, il est possible de construire un calendrier lunaire perpétuel répartissant 235 mois lunaires sur 19 années terrestres de 365 jours^[2]. Pour chaque valeur du Nombre d'or, le tableau suivant affiche, pour chaque mois, le quantième de la nouvelle lune.

Calendrier lunaire perpétuel julien : quantième de la nouvelle lune

Nombre d'or	Jan	Fév	Mar	Avr	Mai	Jun	Jul	Aou	Sep	Oct	Nov	Déc
1	23	21	23	21	21	19	19	17	16	15	14	13
2	12	10	12	10	10	8	8	6	5	4	3	2
3	1, 31		1, 31	29	29	27	27	25	24	23	22	21
4	20	18	20	18	18	16	16	14	13	12	11	10
5	9	7	9	7	7	5	5	3	2	2, 31	30	29
6	28	26	28	26	26	24	24	22	21	20	19	18
7	17	15	17	15	15	13	13	11	10	9	8	7
8	6	4	6	5	4	3	2	1, 30	29	28	27	26
9	25	23	25	23	23	21	21	19	18	17	16	15
10	14	12	14	12	12	10	10	8	7	6	5	4
11	3	2	3	2	1, 31	29	29	27	26	25	24	23
12	22	20	22	20	20	18	18	16	15	14	13	12
13	11	9	11	9	9	7	7	5	4	3	2	1, 31
14	30	28	30	28	28	26	26	24	23	22	21	20
15	19	17	19	17	17	15	15	13	12	11	10	9
16	8	6	8	6	6	4	4	2	1	1, 30	29	28
17	27	25	27	25	25	23	23	21	20	19	18	17
18	16	14	16	14	14	12	12	10	9	8	7	6
19	5	3	5	4	3	2	1, 30	28	27	26	25	24

L'alternance des mois de 29 jours et de 30 jours est à peu près respectée. Certains mois où la Nouvelle Lune se produit très tôt dans le mois se reproduit en fin du même mois (notation, par exemple : 1, 31 au mois de mars, pour signifier que la Nouvelle lune se produit le 1^er et le 31 mars). Noter que, pour un même mois, d'un Nombre d'or au suivant, le décalage de la Nouvelle Lune est de 11 jours (l'année lunaire étant de 12 × 29,5 jours = 354 jours, tandis que l'année solaire est de 365 jours.) Puisque les Nouvelles lunes suivent un cycle de 19 ans et que le mois d'avril, par exemple, comporte 30 jours, il y a onze jours d'avril où ne se produit jamais de Nouvelle Lune ; comme on le voit dans le calendrier lunaire ci-dessus : ce sont les 1, 3, 8, 11, 13, 16, 19, 22, 24, 27 et 30 avril. Cette bizarrerie se reproduit tous les mois du calendrier lunaire et est due, évidemment, au fait que le cycle de Méton n'est qu'une approximation rationnelle de la lune réelle.

Noter que le calendrier lunaire est une distribution annuelle du cycle de Méton qui est posée par hypothèse : c'est sur ce calendrier lunaire que se fondent tous les calculs de la date de Pâques julienne.

L'Épacte est, par définition, « l'âge de la Lune au 1^er janvier ».

Si la première nouvelle lune de janvier tombe le q janvier, alors l'Épacte vaut :

E = 31 - q ^{[Note 5]}

Cette formule permet donc d'établir simplement l'Épacte en fonction du Nombre d'or à l'aide du calendrier lunaire julien ci-dessus. Ces valeurs sont rassemblées dans le tableau suivant :

Correspondance entre le Nombre d'or et l'Épacte julienne

Nombre d'or	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Épacte julienne	8	19	0	11	22	3	14	25	6	17	28	9	20	1	12	23	4	15	26

que l'on peut résumer dans la formule :

Épacte julienne = Reste [ ((Nombre d'Or -1) × 11 + 8) / 30]

L'Épacte et le Nombre d'or sont donc équivalents, à une transformation près par l'intermédiaire de cette formule. Par convention, le calcul de la date de Pâques julienne utilisent le Nombre d'or.

À partir du calendrier lunaire julien perpétuel ci-dessus, il est facile de repérer, pour chaque Nombre d'or, la nouvelle lune telles que le quatorzième jour de la lune tombe le 21 mars ou immédiatement après :

• on repère la nouvelle lune de mars ;
• on ajoute 13 ;
• on vérifie que la date obtenue tombe le 21 mars ou immédiatement après (sinon on prend la nouvelle lune suivante).

Par exemple :

• pour le Nombre d'or 1, la nouvelle lune est le 23 mars ; le quatorzième jour de la lune est le 23 +13 = 36 mars, c'est-à-dire le 5 avril, qui se situe bien après le 21 mars ;
• pour le Nombre d'or 8, la nouvelle lune de mars est le 6 mars ; le quatorzième jour de la lune est le 6 + 13 =19 mars. C'est trop tôt. Il faut prendre la nouvelle lune suivante, qui a lieu le 5 avril. Le quatorzième jour de la lune a donc lieu le (5 +13 =) 18 avril.

Le tableau suivant récapitule, pour chacun des Nombres d'or, la date du quatorzième jour de la lune qui tombe le 21 mars ou immédiatement après :

Date des quatorzièmes jours de la lune pascaux (1)

Nombre d'or	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
14e jour de la lune en jours de mars	36	25	44	33	22	41	30	49	38	27	46	35	24	43	32	21	40	29	48
14e jour de la lune en jours de mars (M) ou d'avril (A)	5A	25M	13A	2A	22M	10A	30M	18A	7A	27M	15A	4A	24M	12A	1A	21M	9A	29M	17A

Il s'agit maintenant de déterminer la date du dimanche qui suit le quatorzième jour de la lune. On utilise pour cela les éléments du Cycle solaire.

Puisqu'une année ordinaire de 365 jours comporte 52 semaines plus 1 jour, il y a un décalage d'un jour chaque année entre le quantième et le jour de la semaine. Par exemple, le 1^er janvier 1492 étant un dimanche, le 1^er janvier 1493 est un lundi, décalé d'un jour. S'il n'y avait pas les années bissextiles, les mêmes jours de la semaine se retrouveraient aux mêmes quantièmes tous les sept ans. Toutefois les années bissextiles introduisent un décalage supplémentaire. De ce fait, les quantièmes et les jours de la semaine ne retrouvent le même cycle que tous les 7 × 4 = 28 ans. C'est le Cycle solaire qui détermine ainsi la répartition des jours de la semaines au cours de chaque année.

À chaque année est attribué un numéro dans un cycle solaire de 28 ans, numéroté de 1 à 28 et qui débute arbitrairement par le numéro 1 en l'an 20 de notre ère. Il en résulte que le Cycle solaire de chaque année vaut :

Cycle solaire = RESTE [(Année + 8) / 28 ] + 1

Exemple pour l'année 1492

1492 + 8 = 1500

RESTE [ 1500 / 28 ] = 16

Cycle solaire = 16 + 1 = 17

Les années sont bissextiles pour les Cycles solaires 1, 5, 9, 13, etc.

Pour une année donnée, on fait correspondre successivement chacune des sept premières lettres (A, B, C, D, E, F et G) à chacun des jours de l’année, en commençant par A pour le 1^er janvier, puis en répétant le cycle tous les sept jours. La Lettre dominicale est la lettre attribuée aux dimanches.

Exemples :

• En 1492, le 1^er janvier est un dimanche ; la Lettre dominicale est donc A ;
• En 1493, le 1^er janvier est un lundi ; la Lettre dominicale est donc G.

Lorsque l'année est bissextile, la lettre est redoublée pour le jour bissextile. Aussi l'année comporte alors deux lettres dominicales : la Lettre dominicale de janvier valable en janvier et février et la Lettre dominicale pascale, décalée d'un rang, pour les dix derniers mois de l'année. Puisque Pâques a toujours lieu après le 21 mars, seule importe, pour le calcul de la date de Pâques, la Lettre dominicale pascale.

Le Cycle solaire et la Lettre dominicale sont équivalents. On déduit la Lettre dominicale du Cycle solaire à l'aide de la table suivante. On y trouve, sur deux lignes :

• la Lettre dominicale de janvier, valable toute l'année pour les années régulières et seulement en janvier et février pour les années bissextiles ;
• la Lettre dominicale pascale, valable toute l'année pour les années régulières et seulement pour des dix derniers mois pour les années bissextiles.

Seule la lettre dominicale pascale sert au calcul de la date de Pâques julienne.

Cycle solaire et lettre dominicale

Cycle solaire	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28
Lettre dominicale de janvier	G	E	D	C	B	G	F	E	D	B	A	G	F	D	C	B	A	F	E	D	C	A	G	F	E	C	B	A
Lettre dominicale pascale	F	E	D	C	A	G	F	E	C	B	A	G	E	D	C	B	G	F	E	D	B	A	G	F	D	C	B	A

La méthode ci-après permet de calculer la lettre dominicale dans le calendrier julien. Elle est adaptée de l'algorithme de Gauss pour le calcul de la date de Pâques julienne^[3].

Le résultat du calcul est numérique. La correspondance avec la Lettre dominicale pascale est celle-ci :

	1	2	3	4	5	6	7
Lettre dominicale L	A	B	C	D	E	F	G

Donnée source : l'Année pour laquelle on effectue le calcul

Calcul de la lettre dominicale julienne

Dividende	Diviseur	Quotient	Reste	Expression
Année - 1	100	a	b
b	4		c
b	7		d
a	7		e
2 c + 4 d + e + 2	7		f
f + 6	7		g
g + 1				h

La lettre dominicale julienne est donnée par h.

Exemple pour l'année 1492 :

Calcul de la lettre dominicale pascale julienne

Dividende	Diviseur	Quotient	Reste	Expression
1491	100	14	91
91	4		3
91	7		0
14	7		0
8	7		1
7	7		0
1				1

La lettre dominicale de 1492 vaut 1, c'est-à-dire A. (Puisque 1492 est bissextile, la lettre dominicale pascale est G.)

Quelques raisonnements calendaires simples conduisent à la table suivante, qui permet de déterminer la date de Pâques à l'aide du Nombre d'or et de la Lettre dominicale. (Il est à noter que, puisqu'on a pris en compte la Lettre dominicale "pascale", les raisonnements suivants sont indépendants du caractère bissextile de l'année).

Considérons le cas où le Nombre d'or vaut 1 et la Lettre dominicale vaut A :

• puisque le Nombre d'or vaut 1, le quatorzième jour de la lune pascale se produit le 5 avril (voir la Table de Date des quatorzièmes jours de la lune pascaux (1) ci-dessus) ;
• le 5 avril est le 95^e jour de l'année et la Lettre dominicale du 5 avril vaut RESTE [95/7] = 4, c'est-à-dire D ;
• Le dimanche suivant est donc quatre jours plus tard (décompte de D à A), c'est-à-dire le 9 avril.

La table ci-dessous a été établie en généralisant ce raisonnement.

Date de Pâques julienne en jours de mars (M) ou d'avril (A), en Fonction du Nombre d'or et de la Lettre dominicale

Date de Pâques julienne (3)

	Lettre dominicale
Nombre d'or	A	B	C	D	E	F	G
1	9A	10A	11A	12A	6A	7A	8A
2	26M	27M	28M	29M	30M	31M	1A
3	16A	17A	18A	19A	20A	14A	15A
4	9A	3A	4A	5A	6A	7A	8A
5	26M	27M	28M	29M	23M	24M	25M
6	16A	17A	11A	12A	13A	14A	15A
7	2A	3A	4A	5A	6A	31M	1A
8	23A	24A	25A	19A	20A	21A	22A
9	9A	10A	11A	12A	13A	14A	8A
10	2A	3A	28M	29M	30M	31M	1A
11	16A	17A	18A	19A	20A	21A	22A
12	9A	10A	11A	5A	6A	7A	8A
13	26M	27M	28M	29M	30M	31M	25M
14	16A	17A	18A	19A	13A	14A	15A
15	2A	3A	4A	5A	6A	7A	8A
16	26M	27M	28M	22M	23M	24M	25M
17	16A	10A	11A	12A	13A	14A	15A
18	2A	3A	4A	5A	30M	31M	1A
19	23A	24A	18A	19A	20A	21A	22A

Calcul de la date de Pâques julienne pour l'année A =1492.

1. Nombre d'or :

Nombre d'or = RESTE [1492 / 19] + 1

Nombre d'or = 11

2. Cycle solaire :

Cycle solaire = RESTE [(1492 + 8) / 28 ] + 1

Cycle solaire = 17

3. Lettre dominicale

Depuis la table Cycle solaire et lettre dominicale (2) ci-dessus :

Lettre dominicale = G.

4. Date de Pâques julienne, d'après la table Date de Pâques julienne (3) ci-dessus :

Date de Pâques = 22 avril.

Pâques est le 22 avril 1492.

• Calcul de la date de Pâques
• Calcul canonique de la date de Pâques grégorienne
• Calcul de la date de Pâques selon la méthode de Gauss
• Calcul de la date de Pâques selon la méthode de Meeus
• Calcul de la date de Pâques selon la méthode de Conway

v · m Semaine sainte et Pâques
Carême Dimanche de la Passion Vendredi des Douleurs Triduum pascal
Dimanche des Rameaux	Éléments textuels Entrée de Jésus à Jérusalem Miracle du figuier stérile Expulsion des marchands du Temple Passion du Christ Traditions Procession des Rameaux Christ des Rameaux Croix des rameaux Passiflore Musique Officium Hebdomadæ Sanctæ (de Victoria) Gloria, laus et honor Passion
Jeudi saint	Éléments textuels Cène Lavement des pieds Agonie dans le Jardin des Oliviers Trente pièces d'argent Baiser de Judas Arrestation de Jésus Jeune homme nu Traditions Ténèbres du Jeudi saint Messe chrismale Mandé royal Station de pénitence Reposoir Musique Officium Hebdomadæ Sanctæ (de Victoria) Leçons de Ténèbres (Leçons de ténèbres de Couperin) Tenebræ Responsoria (de Gesualdo) Ubi caritas
Vendredi saint	Éléments textuels Jugement de Pilate Procès de Jésus Flagellation de Jésus Ecce homo (Homme de douleurs) Malédiction du sang Reniement de Pierre Portement de croix (Patibulum) Partage des vêtements de Jésus Crucifixion Plaies du Christ Sept paroles de Jésus en croix Déploration du Christ Mise au tombeau Traditions Ténèbres du Vendredi saint Scala Santa Catenacciu Chemin de Croix Station de pénitence Impropères Prière du Vendredi saint (Oremus et pro perfidis Judaeis) Liturgie des Saints Dons présanctifiés Procession du Christ-Mort (Epitaphios) Mater dolorosa (Notre-Dame des Douleurs) Pietà Musique Officium Hebdomadæ Sanctæ (de Victoria) Leçons de Ténèbres (Leçons de ténèbres de Couperin) Tenebræ Responsoria (de Gesualdo) Lamentations Ar Basion Vras Ngắm Mùa Chay Pasyon Vexilla Regis Stabat Mater Perdono, mio Dio Die sieben letzten Worte unseres Erlösers am Kreuze (de Haydn)
Samedi saint	Éléments textuels Descente aux Enfers Traditions Ténèbres du Samedi saint Musique Officium Hebdomadæ Sanctæ (de Victoria) Leçons de Ténèbres (Leçons de ténèbres de Couperin) Tenebræ Responsoria (de Gesualdo)
Dimanche de Pâques	Éléments textuels Résurrection de Jésus Tombeau vide Myrophores Saintes Femmes Pèlerins d'Emmaüs Traditions Vigile pascale Feu sacré Cierge pascal Trikirion pascal Exultet Tropaire pascal Jour de Pâques Homélie pascale Agneau pascal Médaillon de l'Agnus Dei Bénédiction urbi et orbi Scoppio del Carro Œuf de Pâques Cascarón Lapin de Pâques Bilby de Pâques Arbre de Pâques Osterbrunnen Cuisine de Pâques Gigot pascal Mystères Quem quaeritis Musique Victimæ paschali laudes O filii et filiæ Christ lag in Todesbanden Der Himmel lacht! Die Erde jubilieret Oratorio de Pâques Vidi aquam
Lundi de Pâques	Traditions Śmigus-dyngus Radonitsa Regina cæli Musique Bleib bei uns, denn es will Abend werden Erfreut euch, ihr Herzen
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