Théorème de Terquem

Le théorème de Terquem est un théorème de géométrie du triangle dû à Olry Terquem.

On appelle cévienne une droite d'un triangle issue d'un sommet et sécante avec le côté opposé. Par exemple, les hauteurs, médianes, bissectrices d'un triangle sont des céviennes.

Soit ABC un triangle et un point I distinct des sommets. Les céviennes (AI), (BI) et (CI) coupent - en général - les côtés opposés du triangle en trois points A’, B’ et C’.

Le triangle A’B’C’, qui joint les pieds des trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) concourantes en I, est le triangle cévien du point I par rapport au triangle ABC. Son cercle circonscrit est appelé cercle cévien de I par rapport au triangle ABC.

Le triangle cévien correspondant aux hauteurs est le triangle orthique, celui correspondant aux médianes est le triangle médian. Le cercle d'Euler est le cercle cévien de l'orthocentre et du centre de gravité.

Soit ABC un triangle, et trois céviennes du triangle concourantes en un point P. Le cercle pédal de P, passant par les pieds de ces céviennes (E, F et G), détermine trois autres points sur les côtés du triangle (H, I et J). Ces trois autres points sont également les pieds de céviennes concourantes en un point Q, appelé conjugué cyclocévien de P. Les six points d'intersection du triangle et du cercle pédal sont appelés points de Terquem.

Démonstration

D'après le théorème de Ceva, si les trois droites (AF), (BG) et (CE) sont concourantes on a :

${\displaystyle {\frac {\overline {EA}}{\overline {EB}}}\times {\frac {\overline {FB}}{\overline {FC}}}\times {\frac {\overline {GC}}{\overline {GA}}}=-1}$.

La puissance du point A par rapport au cercle circonscrit à EFG est

${\displaystyle p={\overline {JA}}\times {\overline {GA}}={\overline {IA}}\times {\overline {EA}}}$

d'où les rapports égaux :

${\displaystyle {\frac {\overline {EA}}{\overline {GA}}}={\frac {\overline {JA}}{\overline {IA}}}}$.

De même, la puissance de B permet d'écrire

${\displaystyle {\frac {\overline {EB}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {HB}}{\overline {IB}}}}$.

Enfin, la puissance de C permet d'écrire

${\displaystyle {\frac {\overline {GC}}{\overline {FC}}}={\frac {\overline {HC}}{\overline {JC}}}}$.

Le produit des trois rapports de gauche est égal à –1, donc le produit des rapports de droite est aussi égal à –1, et :

${\displaystyle -1={\frac {\overline {EA}}{\overline {EB}}}\times {\frac {\overline {FB}}{\overline {FC}}}\times {\frac {\overline {GC}}{\overline {GA}}}={\frac {\overline {JA}}{\overline {IA}}}\times {\frac {\overline {IB}}{\overline {HB}}}\times {\frac {\overline {HC}}{\overline {JC}}}={\frac {\overline {HC}}{\overline {HB}}}\times {\frac {\overline {IB}}{\overline {IA}}}\times {\frac {\overline {JA}}{\overline {JC}}}}$.

D'après la réciproque du théorème de Ceva, les trois droites (AH), (BJ) et (CI) sont concourantes.

• Le point de Gergonne du triangle est son propre conjugué cyclocévien ; le cercle de contact est le cercle inscrit au triangle.
• Le conjugué cyclocévien du centre de gravité (point de concours des médianes) est l'orthocentre (point de concours des hauteurs), et réciproquement. Le cercle cévien est alors le cercle d'Euler du triangle.

(en) Eric W. Weisstein, « Cyclocevian Conjugate », sur MathWorld

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