公理的集合論 （こうりてきしゅうごうろん、axiomatic set theory ）とは、公理化 された集合論 のことである。
現在一般的に使われている集合の公理系 はZF (ツェルメロ=フレンケル) 公理系、またはZF公理系に下で述べる選択公理 （Axiom of Choice）を加えた ZFC公理系（Z ermelo-F raenkel set-theory with the axiom of C hoice）である。ZC, ZでそれぞれZFCおよびZFから置換公理を除いたもの、Z- , ZF- , ZC- , ZFC- で各体系から正則性公理を除いたものを表す。キューネン は『The Foundations of Mathematics』で「初等数学のほとんどはZC- での中でなされる」と述べている[ 1]
外延性の公理 A と B が全く同じ要素を持つのなら A と B は等しい：
∀
A
∀
B
(
∀
x
(
x
∈
A
↔
x
∈
B
)
→
A
=
B
)
{\displaystyle \forall A\forall B(\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)\rightarrow A=B)}
∃
A
∀
x
(
x
∉
A
)
{\displaystyle \exists A\forall x(x\notin A)}
外延性の公理から、空集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを空集合 と呼び、
∅
{\displaystyle \varnothing }
対の公理 x , y に対して、x と y のみを要素とする集合が存在する：
∀
x
∀
y
∃
A
∀
t
(
t
∈
A
↔
(
t
=
x
∨
t
=
y
)
)
{\displaystyle \forall x\forall y\exists A\forall t(t\in A\leftrightarrow (t=x\vee t=y))}
外延性の公理から、x と y に対して対の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを
{
x
,
y
}
{\displaystyle \{x,y\}\,}
{
x
,
x
}
{\displaystyle \{x,x\}\,}
{
x
}
{\displaystyle \{x\}\,}
順序対 の存在が言え、それにより直積集合 の存在も言える。 和集合の公理 X に対して、X の要素の要素全体からなる集合が存在する：
∀
X
∃
A
∀
t
(
t
∈
A
↔
∃
x
∈
X
(
t
∈
x
)
)
{\displaystyle \forall X\exists A\forall t(t\in A\leftrightarrow \exists x\in X(t\in x))}
外延性の公理から、X に対して和集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の和集合 と呼び、
⋃
X
{\displaystyle \bigcup X}
⋃
{
x
,
y
}
{\displaystyle \bigcup \{x,y\}}
x
∪
y
{\displaystyle x\cup y}
無限公理 x に対して x ∪ {x } を要素に持つ集合が存在する：
∃
A
(
∅
∈
A
∧
∀
x
∈
A
(
x
∪
{
x
}
∈
A
)
)
{\displaystyle \exists A(\varnothing \in A\wedge \forall x\in A(x\cup \{x\}\in A))}
∀
X
∃
A
∀
t
(
t
∈
A
↔
t
⊆
X
)
{\displaystyle \forall X\exists A\forall t(t\in A\leftrightarrow t\subseteq X)}
外延性の公理から、X に対して冪集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の冪集合 と呼び、
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}
x 置換公理
∀
x
∀
y
∀
z
(
(
ψ
(
x
,
y
)
∧
ψ
(
x
,
z
)
)
→
y
=
z
)
→
∀
X
∃
A
∀
y
(
y
∈
A
↔
∃
x
∈
X
ψ
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle \forall x\forall y\forall z((\psi (x,y)\wedge \psi (x,z))\rightarrow y=z)\rightarrow \forall X\exists A\forall y(y\in A\leftrightarrow \exists x\in X\psi (x,y))}
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式 である。 正則性公理 （基礎の公理）
∀
A
(
A
≠
∅
→
∃
x
∈
A
,
∀
t
∈
A
(
t
∉
x
)
)
{\displaystyle \forall A(A\neq \varnothing \rightarrow \exists x\in A,\forall t\in A(t\notin x))}
正則性公理はジョン・フォン・ノイマン によって導入された（1925年 ）。
選択公理 X が互いに交わらないような空でない集合の集合であるとき、X の各要素から一つずつ要素をとってきたような集合（選択集合 ）が存在する：
∀
X
(
(
∅
∉
X
∧
∀
x
∈
X
∀
y
∈
X
(
x
≠
y
→
x
∩
y
=
∅
)
)
→
∃
A
∀
x
∈
X
∃
t
(
x
∩
A
=
{
t
}
)
)
{\displaystyle \forall X((\varnothing \notin X\wedge \forall x\in X\forall y\in X(x\neq y\rightarrow x\cap y=\varnothing ))\rightarrow \exists A\forall x\in X\exists t(x\cap A=\{t\}))}
選択公理と同値であることが ZF において証明できる命題として、整列定理 やツォルンの補題 などがある。
置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年 ）。分出公理はZFの公理から示すことができる。
分出公理 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x ) に対して、X の要素 x で ψ(x ) をみたすような x 全体の集合が存在する：
∀
X
∃
A
∀
x
(
x
∈
A
↔
(
x
∈
X
∧
ψ
(
x
)
)
)
{\displaystyle \forall X\exists A\forall x(x\in A\leftrightarrow (x\in X\wedge \psi (x)))}
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。論理式 ψ を決めたとき、X に対して分出公理が存在を主張する集合はただ一つであることが外延性の公理から言えるので、これを
{
x
∈
X
∣
ψ
(
x
)
}
{\displaystyle \{x\in X\mid \psi (x)\}}
{
x
∈
X
∣
x
∈
Y
}
{\displaystyle \{x\in X\mid x\in Y\}}
X
∩
Y
{\displaystyle X\cap Y}
分出公理を公理として採用する場合にはX を任意に選んだ集合、
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
(
x
≠
x
)
{\displaystyle (x\neq x)}
特に集合論においては、必要に応じて追加の公理が課せられる場合がある。そのようなものは追加される公理を適当な記号で表して ZFC+I (到達不能基数 の存在を仮定する場合) や ZFC+GCH (一般連続体仮説 の場合) のように表記される。
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加筆 が望まれています。
（2022年8月 ）
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圏論 における議論の目的の一つに、群やその間の準同型といった数学的対象全体の性質を議論することがある[ 2]
マックレーン は『圏論の基礎 』において、ユニバース (無限集合 ω グロタンディーク宇宙 ) を導入することでこの問題を回避している。ユニバースの要素となる集合を"小さい"集合、そうでないものを"大きい"集合とし、ユニバースの内側で通常の数学が行えるようにすることで、すべての小さい集合の圏 Set やすべての小さい圏の圏 Cat といったものの議論が可能になる。
グロタンディーク宇宙の存在は到達不能基数の存在と等価である (正確に書くと、任意のグロタンディーク宇宙 U はある到達不能基数 κ で U = V κ [ 3] κ に対して濃度が κ であるようなグロタンディーク宇宙が存在する[ 4]
アレクサンドル・グロタンディーク は自身の著書において、任意の大きさのグロタンディーク宇宙が存在すること (任意の集合に対して、それを含むグロタンディーク宇宙が存在すること) を公理として課した[ 5] [ 6] タルスキ=グロタンディーク集合論 （英語版 ） [ 7]
置換公理と分離公理には、いずれも無限に多くの実例がある。 Montague (1961) には、1957年の博士論文で最初に証明された「ZFCが無矛盾であれば、有限個の公理でZFCを公理化することはできない」という結果が含まれる。一方、フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 （英語版 ） 真のクラス と集合が含まれるが、集合は別のクラスの元になることができる任意のクラスであるとされる。 NBGとZFCはクラスに言及しておらず、一方の理論で証明できる定理 がもう一方の理論でも証明できるという意味で、等価な集合論であるといえる。
モース-ケリー集合論 を参照。
新基礎集合論 を参照。
^ Kunen, Kenneth (2009). The foundations of mathematics ISBN 978-1-904987-14-7 . OCLC 473432000 . https://www.worldcat.org/oclc/473432000 ^ Mac Lane, Saunders 三好 博之, 高木 理訳 (2012) (日本語). 圏論の基礎 . 丸善出版. p. 27. ISBN 978-4-621-06324-8 . "圏論の主な目標の一つは，すべての群の「集合」や任意の二つの群の間の準同型の「集合」のような数学的対象全体の性質を議論することである．" ^ Williams, N. H. (1969). “On Grothendieck universes” . Compositio Mathematica 21 (1): 1–3. ISSN 0010-437X . MR 244035 . http://www.numdam.org/item/CM_1969__21_1_1_0/ 2022年8月18日 閲覧。 ^ Tarski, Alfred (1938). “Über unerreichbare Kardinalzahlen” (ドイツ語). Fundamenta Mathematicae 30 : 68–89. doi :10.4064/fm-30-1-68-89 . ISSN 0016-2736 . https://www.impan.pl/pl/wydawnictwa/czasopisma-i-serie-wydawnicze/fundamenta-mathematicae/all/30/0/111936/uber-unerreichbare-kardinalzahlen . ^ Shulman, Michael A. (7 October 2008). "Set theory for category theory". arXiv :0810.1279 math.CT ]。 ^ Grothendieck, A. ; Verdier, J. L. (1972) (フランス語). Theorie des Topos et Cohomologie Etale des Schemas. Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois-Marie 1963-1964 (SGA 4); Tome 1 269 . Springer Berlin, Heidelberg. p. 2. doi :10.1007/bfb0081551 . ISSN 0075-8434 . https://link.springer.com/book/10.1007/BFb0081551 . "(UA) Pour tout ensemble x il existe un univers U tel que x ∈ U." ^ Trybulec, Andrzej (2002). “Tarski Grothendieck Set Theory” . Journal of Formalized Mathematics (Inst. of Computer Science, Univ. of Białystok) Axiomatics . http://mizar.org/JFM/Axiomatics/tarski.html 2022年8月18日 閲覧。
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