選択公理 （せんたくこうり、英 : axiom of choice 、選出公理 ともいう）とは公理的集合論 における公理 のひとつで、どれも空でないような集合 を元 とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年 にエルンスト・ツェルメロ によって初めて正確な形で述べられた[ 1]
空集合 を要素に持たない任意の集合族 に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
f
:
A
→
⋃
A
:=
⋃
A
∈
A
A
{\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to \textstyle {\bigcup }{\mathcal {A}}:=\textstyle {\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}}A}
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
f
(
A
)
∈
A
{\displaystyle f(A)\in A}
写像 を用いて言い換えることが出来る（ここで存在が要求される写像 f を選択関数 （英語版 ） 命題 と同値 である。
{A λ λ ∈Λ 直積 も空集合ではない。記号で書けば、
(
∀
λ
∈
Λ
)
[
A
λ
≠
∅
]
⟹
∏
λ
∈
Λ
A
λ
≠
∅
.
{\displaystyle \left(\forall \lambda \in \Lambda \right)\left[A_{\lambda }\neq \emptyset \right]\implies \textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\neq \emptyset .}
以下の命題は全て選択公理と同値である。つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明 することができるし、逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。
整列可能定理 任意の集合は整列可能である。
ツォルンの補題 順序集合 において、任意の全順序 部分集合 が有界 ならば、極大元 が存在する。（実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。）テューキーの補題 有限性 （英語版 ） 包含関係 に関する極大元を持つ。比較可能定理 任意の集合の濃度 は比較可能である。
直積定理 無限 個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。右逆写像の存在
全射 は右逆写像 を有する。ケーニッヒ（Julius König）の定理 濃度の小さい集合の直和 より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。
ベクトル空間における基底の存在
全てのベクトル空間 は基底 を持つ（1984年にen:Andreas Blass によって選択公理と同値であることが証明された。ただし、正則性公理 が必要になる）。
チコノフの定理 コンパクト空間 の任意個の積空間はコンパクトになる。クルルの定理 単位元をもつ環は極大イデアル を持つ。
選択公理、もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
集合論の創始者ゲオルク・カントール は、選択公理を自明なものとみなしていた。
しかし、ツェルメロ による整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル 、ルネ＝ルイ・ベール 、アンリ・ルベーグ 、バートランド・ラッセル などが選択公理の存在に気付き、新たな公理と認識されるようになった。
クルト・ゲーデル とポール・コーエン によって、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系） から独立であること（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）が示された。これは集合論研究における大きな成果であろう。
ZFに一般連続体仮説 を加えると選択公理を証明できることが知られている。これは、1926年 にアドルフ・リンデンバウム （英語版 ） アルフレト・タルスキ が示したが証明は散逸したとされる。同内容を1943年 にヴァツワフ・シェルピニスキ が再発見し1947年 に出版した。
選択公理を仮定することによって導かれる、一見、奇怪で非直観的な結果の中でも、バナッハ＝タルスキーのパラドックス は有名なもので、「有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができる」と、初歩的な概念のみで表現することができる。ただ、ここでの「有限個の分割」は、通常イメージされる単純な分割（包丁でいくつかのパーツに切り分けるようなもの）ではなく、非常に特殊な分割であるため、「"奇怪な分割"をした結果、奇怪な結果（2つに増える）が生じた」にすぎないという側面もある。
なお、ステファン・バナフ（バナッハ） とタルスキ は論文の冒頭で、「証明のなかに、この公理（選択公理）が果たす役割は、注目するに値する」と述べているだけであり、バナッハ＝タルスキーのパラドックスによって選択公理が正しくないと明確に主張したわけではない。
選択公理とは矛盾するが、ZFCから選択公理を除いたZFとは矛盾しないような命題は数多く発見されている。たとえばロバート・ソロヴェイ （英語版 ） 強制法 を用いて実数の集合が全てルベーグ可測 であるようなZFのモデル（ソロヴェイモデル ）を構成した。
1964年 にヤン・ミシェルスキ （英語版 ） 決定性公理 もその一つである。これはその後、無矛盾性証明のために頻繁に用いられている。ZFに決定性公理を付け加えた公理系の無矛盾性と、ZFに選択公理と巨大基数 の一種であるウッディン基数 （英語版 ） ウッディン の定理は、互いに矛盾する公理を関係づける非常に重要なものである。
選択公理には様々な変種が存在する。
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英 : countable axiom of choice,denumerable axiom of choice ）というものも考えられている[ 2]
カントール 、ラッセル 、ボレル 、ルベーグ などは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
集合族の要素を特定の有限集合に制限した公理も研究されている[ 3]
ACn : n元集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ。
という形の公理である。
この種の公理について以下のようなことが知られている（すべてZF公理系を仮定）。
AC2
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
4
n
≠
1
,
2
,
4
{\displaystyle n\neq 1,2,4}
2
⇏
{\displaystyle \nRightarrow }
n 各
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
n が成り立つ仮定の下でも、「有限集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ」(Axiom of choice for finite sets)を証明できない。 AC2
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
4 を示すには、4元集合からなる集合族
F
{\displaystyle F}
{
{
a
,
b
}
:
a
,
b
∈
⋃
F
,
a
≠
b
}
{\displaystyle \{\{a,b\}:a,b\in \bigcup F,a\neq b\}}
2 を適用して、選択関数
g
{\displaystyle g}
g
{\displaystyle g}
F
{\displaystyle F}
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
B
{\displaystyle {\rm {B}}}
{
{
a
,
b
}
:
a
,
b
∈
A
,
a
≠
b
}
{\displaystyle \{\{a,b\}:a,b\in {\rm {A}},a\neq b\}}
B
{\displaystyle {\rm {B}}}
4
C
2
=
{\displaystyle _{4}C_{2}=}
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
a
{\displaystyle a}
q
(
a
)
=
|
{
b
∈
B
:
g
(
b
)
=
a
}
|
{\displaystyle q(a)=|\{b\in B:g(b)=a\}|}
q
(
a
)
{\displaystyle q(a)}
m
{\displaystyle m}
M
{\displaystyle {\rm {M}}}
{
a
∈
A
:
q
(
a
)
=
m
}
{\displaystyle \{a\in {\rm {A}}:q(a)=m\}}
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
M
{\displaystyle {\rm {M}}}
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle 1,2,3,4}
|
M
|
=
4
{\displaystyle |{\rm {M|=4}}}
4
q
(
a
)
=
∑
a
∈
A
q
(
a
)
=
|
B
|
=
6
{\displaystyle 4q(a)=\sum _{a\in {\rm {A}}}q(a)=|{\rm {B|=6}}}
|
M
|
=
1
{\displaystyle |{\rm {M|=1}}}
M
{\displaystyle {\rm {M}}}
f
(
A
)
{\displaystyle f({\rm {A}})}
|
M
|
=
2
{\displaystyle |M|=2}
f
(
A
)
=
g
(
M
)
{\displaystyle f({\rm {A}})=g({\rm {M}})}
|
M
|
=
3
{\displaystyle |M|=3}
A
∖
M
{\displaystyle {\rm {A}}\setminus {\rm {M}}}
f
(
A
)
{\displaystyle f({\rm {A}})}
^ Zermelo, Ernst (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann". Mathematische Annalen 59: 514-16.^ 田中(1987) 、36頁。^ Jech, Thomas J. (2008-07-24), The Axiom of Choice, Dover Books on Mathematics (Paperback ed.), United States: Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-46624-8
Bell, John L. (2009-11-23), The Axiom of Choice , Studies in Logic Series (Paperback ed.), United Kingdom: College Publications, ISBN 978-1-904987-54-3 Jech, Thomas J. (2008-07-24), The Axiom of Choice , Dover Books on Mathematics (Paperback ed.), United States: Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-46624-8 Moore, Gregory H. (2013-03-21), Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence , Dover Books on Mathematics (Paperback ed.), United States: Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-48841-7
![{\displaystyle \left(\forall \lambda \in \Lambda \right)\left[A_{\lambda }\neq \emptyset \right]\implies \textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\neq \emptyset .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32216fef1fb155f87b2f6def1d26e0e61b2228c4)
