Em finanças, a regra dos 72, a regra dos 70^[1] e a regra dos 69,3 são métodos para estimar o tempo de duplicação de um investimento . O número da regra (por exemplo, 72) é dividido pela porcentagem de juros por período (geralmente anos) para obter o número aproximado de períodos necessários para duplicação. Embora calculadoras científicas e programas de planilha tenham funções para encontrar o tempo de duplicação preciso, as regras são úteis para cálculos mentais e quando apenas uma calculadora básica estiver disponível.^[2]

Estas regras aplicam-se ao crescimento exponencial e, portanto, são utilizadas para juros compostos em oposição aos cálculos de juros simples . Eles também podem ser usados para decaimento para obter um tempo de redução pela metade. A escolha do número é principalmente uma questão de preferência: 69 é mais preciso para composição contínua, enquanto 72 funciona bem em situações de interesse comum e é mais facilmente divisível. Existem várias variações nas regras que melhoram a precisão. Para capitalização periódica, o tempo exato de duplicação para uma taxa de juros de r por cento por período é

${\displaystyle t={\frac {\ln(2)}{\ln(1+r/100)}}\approx {\frac {72}{r}}}$ ,

onde t é o número de períodos necessários. A fórmula acima pode ser usada para mais do que calcular o tempo de duplicação. Se quisermos saber o tempo de triplicação, por exemplo, substitua a constante 2 no numerador por 3. Como outro exemplo, se quisermos saber quantos períodos são necessários para o valor inicial aumentar 50%, substitua a constante 2 por 1,5.

Para estimar o número de períodos necessários para duplicar um investimento original, divida a “quantidade-regra” mais conveniente pela taxa de crescimento esperada, expressa em percentagem.

• Por exemplo, se você investisse $ 100 com juros compostos a uma taxa de 9% ao ano, a regra de 72 dá 72/9 = 8 anos necessários para que o investimento valha $ 200; um cálculo exato dá ln(2) /ln(1+0,09) = 8,0432 anos.

Da mesma forma, para determinar o tempo que leva para o valor do dinheiro cair pela metade a uma determinada taxa, divida a quantidade regra por essa taxa.

• Para determinar o tempo necessário para que o poder de compra do dinheiro caia pela metade, os financiadores dividem a quantidade regra pela taxa de inflação . Assim, com uma inflação de 3,5%, usando a regra dos 70, deveria levar aproximadamente 70/3,5 = 20 anos para que o valor de uma unidade monetária caísse pela metade.^[1]
• Para estimar o impacto das taxas adicionais nas políticas financeiras (por exemplo, taxas e despesas de fundos mútuos, encargos de carregamento e despesas em carteiras variáveis de investimento em seguro de vida universal ), divida 72 pela taxa. Por exemplo, se a apólice da Universal Life cobrar uma taxa anual de 3% acima do custo do fundo de investimento subjacente, então o valor total da conta será reduzido para 50% em 72/3 = 24 anos, e depois para 25% de o valor em 48 anos, em comparação com manter exatamente o mesmo investimento fora da apólice.

O valor 72 é uma escolha conveniente de numerador, pois possui muitos divisores pequenos: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12. Fornece uma boa aproximação para capitalização anual e para capitalização a taxas típicas (de 6% a 10%); as aproximações são menos precisas a taxas de juro mais elevadas.

Para composição contínua, 69 fornece resultados precisos para qualquer taxa, uma vez que ln (2) é cerca de 69,3%; veja derivação abaixo. Como a composição diária é próxima o suficiente da composição contínua, para a maioria das finalidades 69, 69,3 ou 70 são melhores do que 72 para a composição diária. Para taxas anuais mais baixas do que as acima, 69,3 também seria mais preciso do que 72.^[3] Para taxas anuais mais elevadas, 78 é mais preciso.

Graphs comparing doubling times and half lives of exponential growths (bold lines) and decay (faint lines), and their 70/t and 72/t approximations. In the SVG version, hover over a graph to highlight it and its complement.

Nota: O valor mais preciso em cada linha está em itálico e o mais preciso das regras mais simples está em negrito.

Uma referência antiga à regra está na Summa de arithmetica (Veneza, 1494. Fol. 181, n. 44) de Luca Pacioli (1445–1514). Ele apresenta a regra em uma discussão sobre a estimativa do tempo de duplicação de um investimento, mas não deriva ou explica a regra, e portanto assume-se que a regra antecede Pacioli em algum tempo.

Traduzido aproximadamente:

Para taxas mais elevadas, um numerador maior seria melhor (por exemplo, para 20%, usar 76 para obter 3,8 anos seria apenas cerca de 0,002 de desconto, enquanto usar 72 para obter 3,6 seria cerca de 0,2 de desconto). Isto porque, como acima, a regra dos 72 é apenas uma aproximação precisa para taxas de juros de 6% a 10%.

Por cada três pontos percentuais acima dos 8%, o valor de 72 poderia ser ajustado em 1:

${\displaystyle t\approx {\frac {72+(r-8)/3}{r}}}$

ou, para o mesmo resultado:

${\displaystyle t\approx {\frac {70+(r-2)/3}{r}}}$

Ambas as equações simplificam para:

${\displaystyle t\approx {\frac {208}{3r}}+{\frac {1}{3}}}$

Observe que ${\displaystyle {\frac {208}{3}}}$ está bem próximo de 69,3.

A regra de segunda ordem de Eckart-McHale (a regra E-M) fornece uma correção multiplicativa para a regra de 69,3 que é muito precisa para taxas de 0% a 20%, enquanto a regra normalmente só é precisa na extremidade mais baixa das taxas de juros, de 0% a cerca de 5%.

Para calcular a aproximação E-M, multiplique o resultado da regra de 69,3 por 200/(200− r ) da seguinte forma:

${\displaystyle t\approx {\frac {69.3}{r}}\times {\frac {200}{200-r}}}$ .

Por exemplo, se a taxa de juro for de 18%, a regra de 69,3 dá t = 3,85 anos, que a regra E-M multiplica por ${\displaystyle {\frac {200}{182}}}$ (ou seja, 200/(200−18)) para dar um tempo de duplicação de 4,23 anos. Como o tempo real de duplicação a esta taxa é de 4,19 anos, a regra E-M dá assim uma aproximação mais próxima do que a regra dos 72.

Para obter uma correção semelhante para a regra de 70 ou 72, um dos numeradores pode ser definido e o outro ajustado para manter o produto aproximadamente o mesmo. A regra E-M poderia, portanto, ser escrita também como

${\displaystyle t\approx {\frac {70}{r}}\times {\frac {198}{200-r}}}$ ou ${\displaystyle t\approx {\frac {72}{r}}\times {\frac {192}{200-r}}}$

Nestas variantes, a correção multiplicativa torna-se 1 respectivamente para r=2 e r=8, valores para os quais as regras de 70 e 72 são mais precisas.

O aproximante de Padé de terceira ordem fornece uma resposta mais precisa em um intervalo ainda maior de r, mas tem uma fórmula um pouco mais complicada:

${\displaystyle t\approx {\frac {69.3}{r}}\times {\frac {4r+600}{r+600}}}$

o que simplifica para:

${\displaystyle t\approx {\frac {1386r+207900}{5r^{2}+3000r}}}$

Para capitalização periódica, o valor futuro é dado por:

${\displaystyle FV=PV\cdot (1+r)^{t}}$

onde ${\displaystyle PV}$ é o valor presente, ${\displaystyle t}$ é o número de períodos de tempo e ${\displaystyle r}$ representa a taxa de juros por período de tempo.

O valor futuro é o dobro do valor presente quando:

${\displaystyle FV=PV\cdot 2}$

que é a seguinte condição:

${\displaystyle (1+r)^{t}=2\,}$

Esta equação é facilmente resolvida para ${\displaystyle t}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\ln((1+r)^{t})&=&\ln 2\\t\ln(1+r)&=&\ln 2\\t&=&{\frac {\ln 2}{\ln(1+r)}}\end{array}}}$

Um rearranjo simples mostra:

${\displaystyle {\frac {\ln {2}}{\ln {(1+r)}}}={\bigg (}{\frac {\ln 2}{r}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {r}{\ln(1+r)}}{\bigg )}}$

Se r for pequeno, então ln(1 + r ) é aproximadamente igual a r (este é o primeiro termo da série de Taylor ). Ou seja, este último fator cresce lentamente quando ${\displaystyle r}$ está próximo de zero.

Chame este último fator ${\displaystyle f(r)={\frac {r}{\ln(1+r)}}}$ . A função ${\displaystyle f(r)}$ mostra-se preciso na aproximação de ${\displaystyle t}$ para uma taxa de juros pequena e positiva quando ${\displaystyle r=.08}$ (veja derivação abaixo). ${\displaystyle f(.08)\approx 1.03949}$ , e portanto aproximamos o tempo ${\displaystyle t}$ como:

${\displaystyle t={\bigg (}{\frac {\ln 2}{r}}{\bigg )}f(.08)\approx {\frac {.72}{r}}}$

Escrito como uma porcentagem:

${\displaystyle {\frac {.72}{r}}={\frac {72}{100r}}}$

Esta aproximação aumenta em precisão à medida que a composição dos juros se torna contínua (ver derivação abaixo). ${\displaystyle 100r}$ é ${\displaystyle r}$ escrito como uma porcentagem .

Para derivar os ajustes mais precisos apresentados acima, note-se que ${\displaystyle \ln(1+r)\,}$ é mais aproximado por ${\displaystyle r-{\frac {r^{2}}{2}}}$ (usando o segundo termo da série de Taylor). ${\displaystyle {\frac {0.693}{r-r^{2}/2}}}$ pode então ser ainda mais simplificado por aproximações de Taylor:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\frac {0.693}{r-r^{2}/2}}&=&{\frac {69.3}{R-R^{2}/200}}\\&&\\&=&{\frac {69.3}{R}}{\frac {1}{1-R/200}}\\&&\\&\approx &{\frac {69.3(1+R/200)}{R}}\\&&\\&=&{\frac {69.3}{R}}+{\frac {69.3}{200}}\\&&\\&=&{\frac {69.3}{R}}+0.3465\end{array}}}$

Substituir o “ R ” em R /200 na terceira linha por 7,79 dá 72 no numerador. Isto mostra que a regra dos 72 é mais precisa para juros compostos periodicamente em torno de 8%. Da mesma forma, substituir o “ R ” em R /200 na terceira linha por 2,02 resulta em 70 no numerador, mostrando que a regra de 70 é mais precisa para juros compostos periodicamente em torno de 2%.

Alternativamente, a regra E-M é obtida se a aproximação de Taylor de segunda ordem for usada diretamente.

Para capitalização contínua, a derivação é mais simples e produz uma regra mais precisa:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}(e^{r})^{p}&=&2\\e^{rp}&=&2\\\ln e^{rp}&=&\ln 2\\rp&=&\ln 2\\p&=&{\frac {\ln 2}{r}}\\&&\\p&\approx &{\frac {0.693147}{r}}\end{array}}}$

• Crescimento exponencial
• Interesse
• Desconto
• Regra dos 16

Referências

• The Scales Of 70– estende a regra dos 72 para além do crescimento de taxa fixa, para o crescimento composto de taxa variável, incluindo taxas positivas e negativas.

• Portal da matemática