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Teorema de Erdős–Kac

Teorema de Erdős–Kac em teoria dos números, assim nomeado por ter sido provado pelos matemáticos Paul Erdős e Mark Kac,[1] também conhecido como o teorema fundamental da teoria probabilística dos números, diz que se ω(n) é o número de fatores primos distintos de n, então, dizendo livremente, a distribuição de probabilidade de

é a distribuição normal padrão. Esta é um extensão mais aprofundada das ideias do Teorema de Hardy–Ramanujan, que diz que a ordem da função aritmética ω(n) é log log n com um típico erro de tamanho .[2]

Mais precisamente, para algum número a < b,

onde é a distribuição normal (ou "Gaussiana"), definida como

Enunciando de modo heurístico, Erdős e Kac provaram que se n é um inteiro suficientemente grande escolhido aleatoriamente, então o número de fatores primos distintos de n tem aproximadamente a distribuição normal com média e variancia log log n.

Isto significa que a construção de um número em torno de um bilhão requer em média uma base de três fatores primos.[3]

Por exemplo 1,000,000,003 = 23 × 307 × 141623.

n Número de

dígitos de n

Número médio

de primos distintos

desvio

padrão

1,000 4 2 1.4
1,000,000,000 10 3 1.7
1,000,000,000,000,000,000,000,000 25 4 2
1065 66 5 2.2
109,566 9,567 10 3.2
10210,704,568 210,704,569 20 4.5
101022 1022+1 50 7.1
101044 1044+1 100 10
1010434 10434+1 1000 31.6
Ficheiro:EKT plot.svg
Uma distribuição gaussiana de fatores primos distintos ilustrando o Teorema de Erdos-Kac

Em torno de 12.6% dos números de 10000 dígitos são construídos numa base de 10 fatores primos distintos e em torno de 68% (±σ) são construídos numa base entre 7 e 13 fatores primos distintos.

Se uma esfera oca com o tamanho do planeta Terra fosse preenchida com areia fina, teria por volta de 1033 grãos. Um volume do tamanho do Universo observável teria em torno de 1093 grãos de areia. Não pode haver espaço para 10185 cordas quânticas em tal universo.

Números desta magnitude — com 186 dígitos — requerem em média 6 fatores primos para construção.

Ver também

Referências

  1. ↑ Erdős, Paul; Kac, Mark (1940). «The Gaussian Law of errors in the Theory of Additive Number Theoretic Function». American Journal of Mathematics. 62 (1/4): 738–742. ISSN 0002-9327. Zbl 0024.10203 
  2. ↑ Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008). «The Erdős–Kac theorem and its generalizations». In: De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13--17, 2006. Col: CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 209–216. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11024 
  3. ↑ Kac, Mark (1959). Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. [S.l.]: John Wiley and Sons, Inc. 

Ligações externas

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