Кривая Вивиани

Кривая Вивиани — пространственная кривая, пересечение кругового цилиндра со сферой с центром на поверхности цилиндра и радиусом, равным диаметру цилиндра.

Названа в честь Винченцо Вивиани, который дал в 1692 году детальное исследование этой кривой и впервые отметил, что ограниченные ею на полусфере две области допускают простую квадратуру: их общая площадь такова, что поверхность оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы^[1]. До Вивиани эту кривую изучали Де ла Лубер, Симон^[фр.] и Жиль Роберваль (1666).

• Кривая Вивиани является линией пересечения поверхности цилиндра

  ${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

со сферой вдвое большего радиуса, центр которой лежит на поверхности цилиндра:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\cdot a^{2}\,.}$

• Параметрическое уравнение:

  ${\displaystyle \left(a\cdot (1+\cos t),\ a\cdot \sin t,\ 2\cdot a\cdot \sin {\tfrac {t}{2}}\right).}$

• Уравнения проекций на плоскости ${\displaystyle (x\,y)}$, ${\displaystyle (y\,z)}$, ${\displaystyle (x\,z)}$:

  ${\displaystyle x(z)=2\,r-{\dfrac {z^{2}}{2\,r}}\,,}$

  ${\displaystyle y(z)=\pm z\,{\sqrt {1-{\dfrac {z^{2}}{4\,r^{2}}}}}\,,}$

  ${\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {x(2\,r-x)}}\,,}$

  ${\displaystyle z(x)=\pm {\sqrt {2\,r\,(2\,r-x)}}\,,}$

  ${\displaystyle x(y)=r\pm {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}\,,}$

  ${\displaystyle z(y)=\pm {\sqrt {2\,r^{2}\pm 2\,r\,{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}}\,.}$

• Проекция кривой Вивиани на общую касательную цилиндра и сферы является лемнискатой Жероно.
• Кривая Вивиани на пересекающейся с цилиндром полусфере отделяет такие две области, что площадь оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы.

• Берже М. Геометрия, тт. 1—2. М: Мир, 1984.
• Loria G. Curve sghembe speciali, Ed. Zanichelli, Bologna, 1925.
• Roero C.S. L'intérêt international d'un problème proposé par Viviani, Actes de l’Univ. d'Été Hist. des Math., I.R.E.M. Toulouse, 1986.
• Roero C.S. The Italian challange to Leibnitzian calculus in 1692. Leibnitz and Viviani: a comparison of two epistemologies, V Int. Congress Leibnitz, Hannover, 1988.