Роза (плоская кривая)

Общий вид полярной розы, задаваемой уравнением $\rho =\sin k\varphi$ , при различных значениях $k={n \over d}$

Ро́за — плоская кривая, напоминающая символическое изображение цветка.

История

Впервые об этой кривой упоминает флорентийский монах Гвидо Гранди в двух письмах Лейбницу в декабре 1713 года^[1]^[2] и называет её «розовидной»^[3] («rhodonea»^[1], от др.-греч. ῥόδον — «роза»). Через десять лет он опубликовал статью о ней в «Философских трудах Королевского общества», где рассмотрел разновидности этой кривой с различным количеством лепестков и также называл их «розовидными»^[4]. Ещё через пять лет Гвидо Гранди развил теорию розовидных кривых в отдельном труде, где наряду с этим рассмотрел похожие на них пространственные кривые, лежащие на сфере, которые он назвал «клелиями» в честь княгини Клелии Борромео^[5]^[3]^[2].

Описание

Данная кривая описывается уравнением в полярной системе координат в виде

$\rho =a\sin k\varphi \,.$

Здесь $a$ и $k$ — постоянные, определяющие размер (a) и количество лепестков (k) данной розы. Вся кривая располагается внутри окружности радиуса $a$ и в случае $k>1$ состоит из одинаковых по форме и размеру лепестков. Количество лепестков в данном случае определяется величиной $k$ .

Для целого $k$ число лепестков равно $k$ , если $k$ нечётное и $2k$ , — если чётное. Для дробного $k$ вида $k={\frac {m}{n}}$ , где $m$ и $n$ взаимно простые, количество лепестков розы равно $m$ , если оба числа нечётные и $2m$ , если хотя бы одно — чётно. При $k$ иррациональном лепестков бесконечно много.

При значениях $k>1$ роза является гипотрохоидой, а при $k<1$ — эпитрохоидой.

См. также

Примечания

↑ ¹ ² Leibnizens matematische Schriften herausgegeben von C. I. Gerhardt. — Halle, 1859. — Vol. IV. — С. 221-224.
↑ ¹ ² Loria, 1902, p. 298.
↑ ¹ ² Александрова, 2008, с. 157.
↑ Grandi G. Florum Geometricorum Manipulus (англ.) // Philosophical Transactions : journal. — 1723. — Vol. 32. — P. 355—371. — doi:10.1098/rstl.1722.0070.
↑ Grandi G. Flores geometrici ex rhodonearum et cloeliarum curvarum descriptione resultantes. — Florentiae, 1728.

Литература

Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
Loria, Gino. Achtes Kapitel. Die Rhodoneen (Rosenkurven) von G. Grandi // Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. — Leipzig, 1902. — P. 297—306.