Конхоида Никомеда

Три конхоиды прямой с общим красным центром, красная $\ell =a/2$ , зелёная $\ell =a$ и синяя $\ell =2a$

Конхоида Никомеда ― конхоида прямой, то есть кривая, получающаяся увеличением (вторая ветвь — уменьшением) радиус-вектора точек прямой на некую постоянную величину $\ell$ ; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Конхоида имеет две ветви, сама прямая конхоиды является асимптотой обеих ветвей.

Название происходит от др.-греч. κογχοειδής — «похожий на раковину»^[1].

Построение

Пусть на плоскости выбрана прямая m и точка O, отстоящая от прямой на расстояние a. Проведём через точку O луч, пересекающий прямую m в некоторой точке N; точки M₁ и M₂, лежащие на луче ON и отстоящие от точки N на заранее выбранное расстояние l, будут точками конхоиды. Меняя направление луча ON, можно построить всю конхоиду^[1].

Уравнения

Декартовы координаты

Если центр конхоиды помещён в начале координат, а прямая задана уравнением $y+a=0$ в декартовых прямоугольных координатах, то уравнение конхоиды имеет вид

\ell ^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})(y+a)^{2}

Начало координат является двойной точкой, характер которой зависит от величин $a$ и $\ell$ :

при $\ell <a$ ― изолированная точка
при $\ell >a$ ― узловая точка
при $\ell =a$ ― точка возврата

Полярные координаты

В полярных координатах, если начало координат находится на расстоянии $a$ от прямой, которая смещается вдоль радиус-вектора на расстояние $l$ , уравнение конхоиды имеет вид^[1]