增乘开平方法

增乘开平方法是北宋数学家贾宪发明的开方算法，原收《释锁算书》一书。贾宪原作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四，幸得以保存下来^[1]。现存英国剑桥大学图书馆。 杨辉在所著《详解九章算法》《开方作法本元》一章中作贾宪开方作法图，并说明“杨辉详解开方本源，出《释锁算书》，贾宪用此术”。^[2]。

增乘开平方法，以商数乘下法递增求之。

商第一位。上商得数以乘下法为乘方。命上商除实。上商得数以乘下法入乘方。一退为廉，下法再退。

商第二位。商得数以乘下法为隅。命上商除实讫。以上商乘下法入隅，皆名曰廉。一退，下法再退，以求第三位商数。

商第三位。用法如第二位求之。

• 算筹的布位。贾宪在纸上用书写方式将算筹码按十进位制布位。七万一千八百二十四分写两行：

下行的步、十、百、千、万分离出来变为算筹的位值标签；上行七一八二四成为十进位制数码。

然后将算筹码依次排在相应的位值标签步、十、百、千、万之下：

七	一	八	二	四
万	千	百	十	步

杨辉以七万一千八百二十四为例，列出详细算草。 算草分四行，被除数放在第二行，称为实，第一行是商，第四行为下法，第三行是廉。 将算筹放在第四行万字之下。${\displaystyle x^{2}=71824}$

					商
					实
					廉
					下法

第一步先估计第一个商数得2，将安置在第一行百位置之上。 将上商2乘下法1，得数2，放在第三行。命上商除实，二二得四，从万减去四万得万。

					商
					实
					廉
					下法

求第二个商数：将上商乘下法二一得二，加入廉二，成为。 将廉数（万）退一位成为（千）；将下法退二位。

作减根变换 ${\displaystyle x=x+200}$，得 ${\displaystyle x^{2}+520x=4224}$

					商
					实
					廉
					下法

估第二位商数得6，将新商数6乘下法1（百）得6（百）并入廉。

					商
					实
					廉
					下法

从实除去商6乘廉46

					商
					实
					廉
					下法

商数6乘下法1，并入廉

					商
					实
					廉
					下法

廉数退一位，下法退二位，估第三位商得8；商乘下法并入廉

					商
					实
					廉
					下法

从实除去商乘廉；净除。七万一千八百二十四的平方根是二百六十八。

					商
					实
					廉
					下法

用增乘开平方法可解得${\displaystyle x={\sqrt {71824}}=\,}$${\displaystyle 268}$ 。

• 钱宝琮：《增乘开方法的历史发展》，《李俨钱宝琮科学史全集》卷9 479-488页

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