天元术是中国古代的代数学方法之一种，是中国古代建立高次方程的方法。1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。元代数学家王恂也广泛使用天元术解高次方程。例如在授时历中“问半弧背一度下，黄赤道矢弧若干”一题，王恂用天元术建立和求解四次多项式方程 x 4 + ( 14823.0624 + 243.50 ) x 2 − − --> 1804707.859375 x + 14823.0625 = 0 {\displaystyle x^{4}+(14823.0624+243.50)x^{2}-1804707.859375x+14823.0625=0} [1]
其中“天元”相当于现在的未知数，“立天元一为某某”相当于现代数学中的“设某某为 x {\displaystyle x} ”，用天、地表示方程的正次幂和负次幂，根据问题设未知数，列出两个相等的多项式，进行多项式运算，最后列出有待求解的方程。
在中国数学史上最早创立天元概念的是北宋平阳蒋周所著的《益古集》，随后有博陆李文一撰《照胆》，鹿泉石信道撰《钤经》，平水刘汝谐撰《如积释锁》，处州李思聪《洞渊九容》后人才知道有天元。
李冶在东平获得刘汝谐撰《如积释锁》，书中用十九个单字表示未知数的各个 x 9 {\displaystyle x^{9}} 至 x − − --> 9 {\displaystyle x^{-9}} 的幂：
后来有太原彭泽彦出，反其道而行，以天元在下[2]。
《益古集》、《照胆》、《钤经》、《如积释锁》、《洞渊九容》等早期天元术著作今已失传。李冶在《测圆海镜》中使用天元在上的天元术。后来李冶又著《益古演段》，采用天元在下的次序。朱世杰《四元玉鉴》和《算学启蒙》卷下也采用天元在下的次序。
在天元术中，一次项系数旁记一“元”字（或在常数项旁记一“太”字）。
“元”以上的系数表示各正次幂，“元”以下的系数表示常数项和各负次幂）。
例：李冶《测圆海镜》第二卷第十四问方程： − − --> x 2 − − --> 680 x + 96000 = 0 {\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}
“元”以下的系数表示各正次幂，“元”以上的系数表示常数和各负次幂
例一：
李冶《益古演段》卷中第三十六问中的方程= 3 x 2 + 210 x − − --> 20325 {\displaystyle 3x^{2}+210x-20325} 用天元术表示为:
其中“太”是常数项，算筹 打斜线表示该项常数为负数。 “元”相当于未知数x
例二：
朱世杰《算学启蒙》下卷第四问
将代数方程
( 92 − − --> X ) X − − --> 2052 = 0 {\displaystyle (92-X)X-2052=0}
表示为天元方程：
例三：
朱世杰《四元玉鉴》《一气混元》
根据条件 黄方乘直积得二十四步
b + c = 9 {\displaystyle b+c=9} x = a {\displaystyle x=a} (立天元一为勾) 由此得方程
x 5 − − --> 9 x 4 − − --> 81 x 3 + 729 x 2 = 3888 {\displaystyle x^{5}-9x^{4}-81x^{3}+729x^{2}=3888}
解之，得勾=3
天元术与阿拉伯代数虽功用相同，但方法迥异。天元术可解高次方程，阿拉伯代数只能解一次，二次方程。天元术解根只求正根，但阿拉伯代数解二次方程得二根。[4]
《益古演段》 《算学启蒙》 《四元玉鉴》
