索菲·熱爾曼質數

若質數${\displaystyle p}$為索菲·熱爾曼質數，則${\displaystyle 2p+1}$亦為質數。與索菲·熱爾曼質數p相聯繫之質數${\displaystyle 2p+1}$則稱之為安全素数。舉例來說，29為一索菲·熱爾曼質數，2×29+1=59則為其對應的安全質數。索菲·熱爾曼證明了費馬最後定理對於這類質數為真。且若${\displaystyle x,y,z}$均為整數，在${\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}$這式子內，必有一項能被${\displaystyle 2p+1}$整除。

是否存在無限個索菲熱爾曼質數仍屬猜想。

從1到10000共有190個索菲熱爾曼質數（OEIS數列A005384）：

PrimeGrid計劃（英语：PrimeGrid）於2016年3月發現了截至目前為止最大的索菲·熱爾曼質數，2618163402417×2^1290000 − 1，此數共有388342位。^[1]

索菲熱爾曼質數永不會以7為個位數。證明：

反證法：假設存在個位數為7的質數p，將它表達成p=10k+7。根據索菲熱爾曼質數的性質，${\displaystyle 2p+1}$亦是質數，但${\displaystyle 2p+1=2(10k+7)+1=20k+15=5(4k+3)}$，${\displaystyle 2p+1}$能被5整除，而且大於5，所以，是合成數，矛盾。

若${\displaystyle p>3}$，${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$，且p為索菲熱爾曼質數，2p+1是梅森數${\displaystyle M_{p}}$的因數。

1922年，哈代和李特爾伍德，猜測了以下估計索菲熱爾曼質數頻率的公式：

${\displaystyle {2Cx \over \ln ^{2}(x)}}$

且${\displaystyle C\approx 0.6601618158}$，C是孿生質數常數。

數列{p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...}的索非熱爾曼質數稱為第一類坎寧安鏈。除了首尾之外，這個數列中的項均同時為索非熱爾曼質數和安全質數。

• http://goodprimes.eu5.org/TSophie1.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://mathworld.wolfram.com/SophieGermainPrime.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. ^ The Prime Database: 2618163402417×2^1290000 - 1. [2016-06-07]. （原始内容存档于2021-04-23）.