冯诺伊曼从小就以过人的智力与记忆力而闻名。冯诺伊曼一生中发表了大约150篇论文,其中有60篇纯数学论文,20篇物理学以及60篇应用数学论文。他最后的作品是一个在医院未完成的手稿,后来以书名《计算机与人脑》(The Computer and the Brain)发布,表现了他生命最后时光的兴趣方向。他先后任职于美国普林斯顿大学、美国普林斯顿高等研究院等机构。[2][3]
遍历论主要涉及动态系统和不变测度(英语:invariant measure)。1932年,冯诺依曼发表了一系列有关遍历论的论文,为遍历论的理论基础做出了贡献。[6]保羅·哈爾莫斯在1932年的一篇遍历论文章中指出“假使冯诺依曼在其它领域没有成就,光这些也足以让他在数学史上留下不朽之名”("if von Neumann had never done anything else, they would have been sufficient to guarantee him mathematical immortality")。[7]冯诺依曼当时已完成了涉及算子理论的著名论文,并将其成果用作证明冯诺依曼平均遍历定理的工具。[7]
冯诺依曼在“冯诺依曼代数”中提出了“算子环”的概念。冯诺依曼代数是一种定义于希尔伯特空间的有界算子的星代数(英语:*-algebra),近似于弱算子拓扑,且包含有恒等算子。[8]以他命名的冯诺依曼二重交换元定理(von Neumann bicommutant theorem)表明弱算子拓扑中闭包的分析学定义会与其二重交换元(英语:bicommutant)所成集合的纯代数学定义等价。[9]自1936年起,冯诺依曼开始研究冯诺依曼代数中的因子分类,期间还与弗朗西斯·穆瑞(Francis Joseph Murray)有过部分合作。1936年至1940年,他发表了6篇有代表性的论文,“位列20世纪分析学杰作名录”("rank among the masterpieces of analysis in the twentieth century")。[10]1949年,冯诺依曼又提出了直积分(英语:direct integral)的概念。[11]
冯诺伊曼认为,量子理论是普遍有效的,不仅适用于微观粒子世界,也适用于現實的测量仪器。1932年约翰·冯诺伊曼将量子力学的最重要的基础严谨地公式化。按照冯诺伊曼的一个物理系统有三个主要部分:其量子态、其可观察量和其动力学(即其发展趋势),此外物理对称性(比镜像对称的含义更广)也是一个非常重要的特性。冯诺伊曼的量子力学教科书《量子力学的数学基础(Mathematical Foundations of Quantum Mechanics)》首次以數理分析清晰地提出了波函数的两类演化过程:
John von Neumann. On the introduction of transfinite numbers [关于超限数的引入]. 1923 (英语).
John von Neumann. An axiomatization of set theory [集合论的一种公理化]. 1925 (英语).
John von Neumann. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics [量子力学的数学基础]. Beyer, R. T. (翻译). Princeton University Press. 1996 [1932]. ISBN 978-0-691-02893-4(英语).
汉译版:Norman Macrae. John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More [天才的拓荒者:冯·诺伊曼传]. 哲人石丛书. 范秀华 (翻译), 朱朝晖 (翻译), 刘丽曼 (责任编辑) 1. 中国上海冠生园路393号: 上海科技教育出版社. 2008 [1992]. ISBN 978-7-5428-4773-7(中文(中国大陆)).
Nicholas A. Vonneuman. John Von Neumann As Seen by His Brother [弟弟眼中的约翰·冯诺依曼] 1. 宾夕法尼亚州Meadowbrook地区: 私人印刷. 1988. ISBN 9780096198102(英语).
^Bochner 1958,第440頁. sfn error: no target: CITEREFBochner1958 (help)
^von Neumann, J. Die Einfuhrung Analytischer Parameter in Topologischen Gruppen. 数学年刊. 2. 1933, 34 (1): 170–190. JSTOR 1968347. doi:10.2307/1968347(German). 引文格式1维护:未识别语文类型 (link)
^v. Neumann, J. Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen. Mathematische Zeitschrift. 1929, 30 (1): 3–42. S2CID 122565679. doi:10.1007/BF01187749(German). 引文格式1维护:未识别语文类型 (link)
^Bochner 1958,第441頁. sfn error: no target: CITEREFBochner1958 (help)
Eugene Wigner; Andrew Szanton. The Recollections of Eugene P. Wigner as told to Andrew Szanton [乱世学人——维格纳自传]. 哲人石丛书. 关洪 (翻译), 匡志强 (责任编辑) 1. 中国上海冠生园路393号: 上海科学技术出版社. 2001: 6–8 [1992]. ISBN 7-5428-2681-6(中文(中国大陆)).