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Test de Kolmogorov-Smirnov

Type	Test non-paramétrique (d)
Inventeurs	Andreï Kolmogorov, Nikolai Smirnov
Nommé en référence à	Andreï Kolmogorov, Nikolai Smirnov

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En statistiques, le test de Kolmogorov-Smirnov est un test d'hypothèse utilisé pour déterminer si un échantillon suit bien une loi donnée connue par sa fonction de répartition continue, ou bien si deux échantillons suivent la même loi. Le test de Kolmogorov-Smirnov est par exemple utilisé pour tester la qualité d'un générateur de nombres aléatoires^[1].

On modélise une loi donnée par sa fonction de répartition F (voir courbe rouge sur la figure). La fonction de répartition associe à tout x (en abscisses), la probabilité qu'une variable suivant cette loi soit plus petite que x (en ordonnées). Le test consiste alors à comparer la fonction de répartition de la loi (fonction de répartition théorique) à la fonction de répartition empirique F_n (en bleu). Cette dernière est une fonction de répartition obtenue en attribuant la probabilité 1/n à chacun des n éléments de l'échantillon. On mesure alors la différence entre les deux courbes. Si cette différence est inférieure à un seuil, alors on décide que l'échantillon provient bien de cette loi donnée. Plus précisément, on rejette l'hypothèse que l'échantillon provienne de la loi s'il y a une valeur de x pour laquelle |F_n(x) - F(x)| est grande.

Soit ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ n variables iid définies sur un espace de probabilité ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$, à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, avec pour fonction de répartition F. La fonction de répartition empirique ${\displaystyle F_{n}}$ de l'échantillon ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ est définie par :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,F_{n}(x)={\frac {\mathrm {nombre~d'{\acute {e}}l{\acute {e}}ments} \,\leq x\,\mathrm {dans~l'{\acute {e}}chantillon} }{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{X_{i}\leq x}}$

où ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ est la fonction indicatrice de l'événement A.

Notons bien que ${\displaystyle F_{n}(x)}$ est une variable aléatoire, car elle dépend des valeurs de l'échantillon ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$. On a la convergence suivante :

${\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{x}|F_{n}(x)-F(x)|>{\frac {c}{\sqrt {n}}}\right]{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\alpha (c)=2\sum _{r=1}^{+\infty }(-1)^{r-1}\exp(-2c^{2}r^{2})}$

pour toute constante c > 0. Le terme α(c) vaut 0,05 pour c = 1,36.

Remarquons que la limite à droite ne dépend pas de F. Cela découle du fait que ${\displaystyle {\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$ converge en loi vers un pont brownien changé de temps par l'inverse F⁻¹ de F. La série α(c) se déduit des propriétés de ce dernier processus.

Il est ainsi facile de proposer un test d'hypothèse pour décider si un échantillon provient bien d'une loi donnée, ou si deux échantillons ont la même loi, lorsque leurs fonctions de répartitions sont continues.

On peut aussi considérer ${\displaystyle \max _{x}(F_{n}(x)-F(x))}$ et ${\displaystyle \max _{x}(F(x)-F_{n}(x))}$.

• ks.test avec R.
• scipy.stats.kstest avec Python pour déterminer si un échantillon suit une loi donnée
• scipy.stats.ks_2samp avec Python pour déterminer si deux échantillons suivent la même loi de distributions
• ksmirnov avec Stata
• kstest avec Matlab.

• Andreï Kolmogorov
• Nikolaï Vassilievitch Smirnov
• Test de normalité
• Test de Jarque-Bera
• Test de Kuiper
• Test de Shapiro-Wilk
• Test d'Anderson-Darling
• Test de Cramer-Von Mises

• (en) Galen R. Shorack et Jon A. Wellner, Empirical Processes With Applications to Statistics, Philadelphie, Society for Industrial & Applied Mathematics, 4 septembre 2009, 998 p. (ISBN 978-0-89871-684-9 et 0-89871-684-5, LCCN 2009025143, lire en ligne).

• (en) David Williams, Weighing the Odds: a Course in Probability and Statistics, Cambridge University Press, 2001, 548 p. (ISBN 0-521-80356-X).

• (en) « Calculation of the Smirnov-Kolmogorov table »
• Exemple de table : http://dlc.erieri.com/onlinetextbook/index.cfm?fuseaction=textbook.appendix&FileName=Table7

v · m Tests statistiques
Tests de comparaison d'une seule variable	Pour un échantillon Test Z Test t pour un échantillon Test des signes Test des rangs signés de Wilcoxon Estimateur de Hodges-Lehmann Pour deux échantillons Test F Test de Student Test t de Welch Test U de Mann-Whitney Test du χ² d'homogénéité Test de McNemar Test de la médiane Pour 3 échantillons ou plus Analyse de la variance (ANOVA) Test de Kruskal-Wallis ANOVA de Friedman Test de Bartlett Test de Levene Test de Brown-Forsythe
Tests de comparaison de deux variables	Deux variables quantitatives : Tests de corrélation Corrélation de Pearson Corrélation de Spearman Corrélation de Kendall Deux variables qualitatives Test exact de Fisher Test du χ² d'indépendance Test Gamma Plus de deux variables Concordance de Kendall Analyse de variance multivariée Test Q de Cochran
Tests d'adéquation à une loi	Test de Kolmogorov-Smirnov Test du χ² d'adéquation Test de Jarque-Bera Test de Lilliefors Test d'Anderson-Darling Test de D'Agostino Test de Cramer-Von Mises
Tests d'appartenance à une famille de lois	Test de Shapiro-Wilk
Autres tests	Test du rapport de vraisemblance
Tests non-paramétriques Tests paramétriques Table d'utilisation des tests statistiques

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