Geoghegan Hart è nato a Londra, maggiore di cinque fratelli, ed è cresciuto nel quartiere London Fields di Hackney. Suo padre è Tom Geoghegan, un costruttore di origini scozzesi e irlandesi. Il nome Tao significa "Tom", il nome di suo padre in gaelico irlandese.
Oltre che ciclista, da adolescente era appassionato di nuoto. Il 28 luglio 2008 fece parte di una staffetta di sei nuotatori del Clissold Swimming Club che completò la traversata del canale della Manica in 11 ore e 34 minuti.
L'ex fidanzata di Geoghegan Hart, Hannah Barnes, è anch'essa una ciclista professionista. Attualmente è in una relazione con Lotte Wubben-Moy, calciatrice inglese.
Carriera
Gli esordi e i primi anni nelle Continental
Dopo aver iniziato a correre nel 2010 con il Cycling Club Hackney di Hackney, Geoghegan Hart entra a far parte del programma di sviluppo olimpico della British Cycling. Dopo una prima stagione tra gli Juniores nel 2012, in cui partecipa ai campionati del mondo a Valkenburg aan de Geul, nel 2013 attira l'attenzione con vittorie e podi in gare internazionali di categoria. In stagione si aggiudica una tappa e la classifica generale del Kroz Istru, e una tappa, la classifica generale, quella a punti e quella scalatori del Giro della Lunigiana; è inoltre terzo alla Parigi-Roubaix Juniors, secondo in una tappa della Corsa della Pace Juniors, nonché terzo in una frazione del Trofeo Karlsberg e nel campionato nazionale in linea di categoria.[1]
Nell'aprile 2019 coglie le prime vittorie in maglia Sky: si aggiudica infatti due tappe al Tour of the Alps, a Kufstein e Cles, e chiude la corsa in seconda posizione, alle spalle del compagno di squadra Pavel Sivakov.[8] Partecipa quindi al Giro d'Italia con la nuova maglia Ineos, ma dopo il settimo posto nella cronometro di apertura a Bologna, è costretto al ritiro durante la tredicesima tappa per una caduta in discesa dal Colle del Lis.[9] Rientrato alle gare in agosto, si classifica quinto al Tour de Pologne e quindi ventesimo alla Vuelta a España, mettendosi in evidenza con due podi parziali, il terzo posto al Santuario del Acebo e il secondo l'indomani sull'Alto de La Cubilla.[8]
2020: la vittoria del Giro d'Italia
Inizia la stagione 2020, la sua quarta in maglia Sky/Ineos, con il terzo posto nella tappa "regina" della Volta a la Comunitat Valenciana, e il terzo gradino del podio finale della corsa. Dopo l'interruzione forzata alle attività a causa della pandemia di COVID-19, tra agosto e settembre partecipa tra le altre alla Route d'Occitanie, al Giro di Lombardia e alla Tirreno-Adriatico, senza però ottenere risultati di rilievo.[10]
Il 3 ottobre è al via del Giro d'Italia come gregario del capitano Geraint Thomas.[11] Con il ritiro di quest'ultimo per una caduta dopo sole tre tappe, riesce a trovare maggior spazio, piazzandosi sesto nella tappa con arrivo a Roccaraso e quarto in quella con traguardo a Monselice; risale così, dopo quattordici tappe, all'undicesimo posto della graduatoria generale.[10] Il 18 ottobre 2020 vince la sua prima frazione al Giro, primeggiando nella quindicesima tappa sul traguardo alpino del Piancavallo; quel giorno stacca il gruppo dei rivali insieme al duo Sunweb composto da Jai Hindley e Wilco Kelderman, superando a sua volta Kelderman all'arrivo. Il risultato porta Geoghegan Hart, prima del secondo giorno di riposo, fino al quarto posto in classifica generale.[10] Il 24 ottobre 2020, penultimo giorno di corsa, il britannico si aggiudica la sua seconda tappa al Giro, questa volta al Sestriere in volata su Hindley, risalendo al secondo posto della generale ma con lo stesso identico tempo della maglia rosa Hindley (prima volta in cui i primi due nella generale si trovano appaiati col medesimo tempo alla vigilia dell'ultima tappa). L'indomani Geoghegan Hart, precedendo di 39" il rivale in maglia rosa nella cronometro finale di Milano, si assicura, a sorpresa, la vittoria del Giro d'Italia 2020.[12] Sua è anche la classifica giovani della corsa.[10]
Si è ritirato dopo una brutta caduta all'undicesima tappa del Giro d'Italia 2023 con arrivo a Tortona, durante una discesa al Passo del Bracco. Nello stesso anno firma un contratto con la squadra statunitense Lidl-Trek, alla quale si unirà a partire dalla stagione 2024.