最小の非可算順序数

最小の非可算順序数（英: First uncountable ordinal）ω₁の存在は、選択公理によらずに示すことができる（ハルトークス数を参照）。ω₁は極限順序数で、すべての可算な順序数を含む非可算集合である。ときに Ω とも表記される。その濃度は最小の非可算基数 ℵ₁ に等しい。

任意の順序数は、順序位相の入った位相空間と捉えることができる。位相空間 [0,ω₁) および [0,ω₁] は、いくつかの興味深い性質を持っている。

• [0,ω₁) は点列コンパクトであるがコンパクトではない。任意の距離空間においてその二つは同値であるから、[0,ω₁) は距離化不可能である。
• 可算コンパクトではあるため、 [0,ω₁) はコンパクトでない可算コンパクト空間の例になっている。
• [0,ω₁) は第一可算公理を満たすが可分でも第二可算的でもない。
• ω₁ は[0,ω₁) の極限点であるが、 [0,ω₁) 内の可算な点列で ω₁ に収束するものは存在しない。なぜなら、可算集合の可算和はまた可算集合になるからである。よって [0, ω₁] においてω₁ は可算な基本近傍系を持てず、[0, ω₁] は第一可算公理を満たさない。
• ω₁ から実数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ への任意の連続関数 f は、ある順序数から先が定数関数になる。即ち、ある${\displaystyle \beta \in \omega _{1}}$と実数${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$が存在して、${\displaystyle \beta <\alpha }$ ならば ${\displaystyle f(\alpha )=c}$となる^[1]。

他にも ω₁ は、長い直線やTychonoff plankといった、位相空間論における重要な反例を作り出すために用いられている。

連続体仮説とは『連続濃度はω₁の濃度と等しい』という命題で、19世紀にカントルによって提唱された。現在では、ZFCにおいて証明も反証もできない命題であることが知られている。この仮説との関連で、ω₁ のべき集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega _{1})}$ の構造も研究されている^[2]。

• 非可算集合
• 極限順序数
• 正則基数
• ボレル集合

• Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2.
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
• 志賀浩二 『無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち』1988、日本評論社 ISBN 978-4535781610

表 話 編 歴 集合論
基本	集合 元 包含関係 内包と外延 クラス ベン図
演算	和集合 非交和 共通部分 素集合 直積集合 分割 補集合 差集合 対称差 冪集合 ド・モルガンの法則 集合の代数学
関係	性質 反射関係 推移関係 推移閉包 対称関係 非対称関係 反対称関係 完全関係 同値関係 同値類 well-defined 整礎関係 逆関係 関係の合成 写像 定義域 終域 値域 単射 全射 全単射 逆写像 像と逆像 恒等写像 制限 包含写像 合成 射影 商写像 指示関数 配置集合 族 添字集合 順序対 順序組 列 集合族 グラフ 部分写像 対応 順序 前順序 有向 半順序 全順序 整列 稠密 有界 単調写像 順序同型 辞書式順序 順序型 推移的集合 順序数 0 後続 極限 自然数 ハッセ図 超限帰納法 ツォルンの補題 整列可能定理 整礎的集合 フォン・ノイマン宇宙
濃度	有限集合 空集合 単集合 遺伝的 可算集合 非可算集合 連続体濃度 始順序数 共終数 基数 正則 到達不能 巨大 一覧 ベルンシュタインの定理 カントールの対角線論法 カントールの定理 連続体仮説
公理化	素朴集合論 ラッセルのパラドックス 公理的集合論 ツェルメロ＝フレンケル集合論 フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 モース-ケリー集合論 新基礎集合論 外延性の公理 空集合の公理 分出公理 対の公理 和集合の公理 冪集合公理 置換公理 無限公理 正則性公理 選択公理 可算 従属
研究者	ゲオルク・カントール リヒャルト・デーデキント バートランド・ラッセル エルンスト・ツェルメロ アドルフ・フレンケル ジョン・フォン・ノイマン クルト・ゲーデル ポール・コーエン
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