Analityczna teoria liczb

Analityczna teoria liczb w matematyce jest częścią teorii liczb zajmującą się zastosowaniami metod analizy matematycznej w celu rozwiązania problemów dotyczących liczb całkowitych^[1].

Głównymi obiektami (lub narzędziami) badań analitycznej teorii liczb są funkcja zeta Riemanna oraz, zdefiniowane jako o ogólniejsza klasa, funkcje L Dirichleta (lub jeszcze ogólniej – funkcje L)^[1][2]. Za prekursora tej dziedziny postrzegany jest Peter Gustav Lejeune Dirichlet, który w 1837 r. udowodnił twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych^[1].

Analityczną teorię liczb można ogólnie zdefiniować dwojako,

• w zakresie narzędzi, jako nauka korzystająca z analizy rzeczywistej i zespolonej, rozwiązująca problemy teorii liczb^[1];
• w zakresie badań, jako nauka wypracowująca szacowania i przybliżenia liczebności zbiorów rozważanych w teorii liczb^[3].

Analityczną teorię liczb zwykle dzieli się na poddziały:

• multiplikatywną teorię liczb (badającą obiekty takie jak funkcja zeta Riemanna, do której najbardziej znanych wyników należy twierdzenie o liczbach pierwszych);
• addytywną teorię liczb (zajmującą się np. problemem Waringa czy hipotezą Goldbacha).

Choć powyższy podział utrwalił się w literaturze, współcześnie wiele kierunków badań przeplata ze sobą metody różnych dziedzin, aby osiągnąć efektywne rezultaty. Do najbardziej znaczących należą:

• probabilistyczna teoria liczb,
• teoria sit,
• badania form automorficznych.

Pierwsze badania skupione były na analizie zachowania funkcji liczącej liczby pierwsze ${\displaystyle \pi (x).}$ Rozumiemy przez nią liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych ${\displaystyle x}$ (np. ${\displaystyle \pi (10)=4,}$ bo liczbami pierwszymi w przedziale ${\displaystyle [1,10]}$ są 2,3,5,7). O nieskończoności liczb pierwszych wiedziano już od Euklidesa, ale asymptotyka czy nierówności opisujące wielkości funkcji ${\displaystyle \pi (x)}$ pozostawały nieznane. W XVIII w. Carl Friedrich Gauss i Adrien-Marie Legendre postawili (niezależnie od siebie) hipotezę mówiącą, że^[4]

${\displaystyle \pi (x)\approx {\frac {x}{\log x}}}$

jest właściwym przybliżeniem (przez ${\displaystyle \log x}$ rozumiemy logarytm naturalny z ${\displaystyle x}$).

Pierwszym znaczącym krokiem w tej materii były, na pozór niepowiązane z liczbami pierwszymi, prace Leonharda Eulera poświęcone szeregom potęg odwrotności liczb naturalnych (w tym problemowi bazylejskiemu), a dokładniej – dowód słuszności iloczynu Eulera^[5].

Niech ${\displaystyle s>1}$ będzie liczbą rzeczywistą. Rozważmy (zbieżny) szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\ldots }$

Zamiast rozważać sumę po wszystkich liczbach naturalnych, możemy sumować tylko liczby niebędące wielokrotnościami 2. Aby to osiągnąć zauważmy, że szereg

${\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\ldots }$

sumuje wyłącznie wielokrotności 2, więc szereg

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\ldots }$

jest tym, którego poszukiwaliśmy. Postępując analogicznie, z powyższego szeregu możemy wyeliminować wszystkie wielokrotności liczby 3. Zauważmy, że szereg

${\displaystyle {\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+\ldots }$

zawiera wyłącznie liczby będące wielokrotnościami 3 i niebędące wielokrotnościami 2, zatem szereg

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\ldots }$

nie zawiera żadnych wielokrotności liczby 2 ani liczby 3. Kontynuując ten proces dla wszystkich liczb pierwszych, otrzymamy

${\displaystyle \left(\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}=1.}$

Równoważnie, możemy stwierdzić, że

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}}$

na całym obszarze ${\displaystyle \Re (s)>1,}$ czyli w którym szereg definiujący funkcję zeta jest zbieżny. Powyższa równość stała się punktem wyjścia dla Bernharda Riemanna. W swojej słynnej pracy^[6] z 1859 r. zdefiniował funkcję zeta jako

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

dla ${\displaystyle s}$ zespolonych, przy ${\displaystyle \Re (s)>1,}$ a następnie przedłużył analitycznie definicję na całą płaszczyznę zespoloną. W ten sposób, definiując ${\displaystyle \pi _{0}(x)}$ jako ${\displaystyle \pi (x)-1/2}$ dla ${\displaystyle x}$ będącego liczbą pierwszą lub ${\displaystyle \pi (x)}$ w każdym innym wypadku, Riemann był w stanie uzyskać dokładny wzór

${\displaystyle \pi _{0}(x)=R(x)-\sum _{\rho }R(x^{\rho }),}$

gdzie:

${\displaystyle R(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}{\text{li}}\left(x^{1/n}\right)}$

dla funkcji Möbiusa ${\displaystyle \mu }$ i logarytmu całkowego ${\displaystyle {\text{li}},}$ przy czym ${\textstyle \sum _{\rho }}$ oznacza sumę po wszystkich nietrywialnych miejscach zerowych funkcji zeta (${\displaystyle s_{0}}$ takich, że ${\displaystyle 0<\Re (s_{0})<1}$).

Od tego momentu funkcję ${\displaystyle \pi (x)}$ rozważano przede wszystkim z wykorzystaniem funkcji zeta.

W 1896 r. Jacques Hadamard^[7] i Charles Jean de la Vallée Poussin^[8] udowodnili, niezależnie od siebie, że funkcja zeta nie ma miejsc zerowych na półprostej ${\displaystyle \Re (s)=1,}$ ${\displaystyle \Im (s)>0.}$ Odkrycie to pozwoliło im udowodnić treść twierdzenia o liczbach pierwszych, tzn.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}=1.}$

Oba dowody oparte były na pomysłach prezentowanych przez Riemanna oraz twierdzeniach analizy zespolonej.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet uznawany jest za ojca analitycznej teorii liczb^[2]. Jako pierwszy udowodnił, że jeśli ${\displaystyle (a,q)=1,}$ to ciąg arytmetyczny ${\displaystyle a+qn}$ ${\displaystyle (n=0,1,2,\dots )}$ zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód Dirichleta oparty był na analizie funkcji L, zdefiniowanych jako

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$

gdzie ${\displaystyle s}$ jest liczbą zespoloną, a ${\displaystyle \chi (n)}$ jest charakterem Dirichleta mod ${\displaystyle q,}$ zdefiniowanym jako

${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\exp \left({\frac {2\pi ikn}{\varphi (q)}}\right),\quad &(n,q)=1,\\0,\quad &(n,q)>1\end{cases}}}$

dla pewnego ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,\varphi (q)-1\}.}$ Dirichlet był w stanie wykazać, że wartość ${\displaystyle L(s,\chi )}$ w ${\displaystyle s=1}$ jest niezerowa, co stanowiło najważniejszą część dowodu.

Metoda łuków Hardy’ego-Littlewooda (lub Hardy’ego-Ramanujana-Littlewooda) powstała jako nowa metoda analizy problemów addytywnych poprzez odpowiednią analizę funkcji generujących. Oryginalnie, ta strategia rozumowania była rozwijana przez Godfreya Hardy’ego, Srinivasę Ramanujana i Johna Littlewooda w kontekście problemu Waringa^[9]. Ich prace rozważały szereg potęgowy

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{k}},}$

gdzie ${\displaystyle k}$ jest potęgą liczb rozważanych w problemie. Jeśli przez ${\displaystyle r_{s}(n)}$ oznaczymy liczbę sposobów na przedstawienie ${\displaystyle n}$ jako ${\displaystyle s}$ liczb będącymi ${\displaystyle k}$-tymi potęgami, widzimy, że

${\displaystyle F(x)^{s}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{k}}\right)^{s}=\sum _{n=1}^{\infty }r_{s}(n)x^{n}.}$

Niech ${\displaystyle \gamma }$ będzie dodatnio zorientowanym okręgiem o środku 0 i promieniu ${\displaystyle r<1.}$ Wówczas

${\displaystyle r_{s}(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {F(x)^{s}}{x^{n+1}}}dx.}$

Metoda Hardy’ego-Littlewooda opierała się na odpowiednim szacowaniu powyższej całki, w taki sposób, by pokazać, kiedy ${\displaystyle r_{s}(n)>0.}$

Iwan Winogradow zmodyfikował podejście Hardy’ego, Ramanujana i Littlewooda, aby udowodnić, że wszystkie dostatecznie duże liczby nieparzyste spełniają hipotezę Goldbacha dla trzech liczb^[10]. W swojej pracy Winogradow udowodnił i skorzystał z twierdzenia mówiącego, że funkcja

${\displaystyle r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3}),}$

gdzie ${\displaystyle \Lambda }$ oznacza funkcję von Mangoldta, spełnia zależność

${\displaystyle r(N)={\frac {1}{2}}G(N)N^{2}+O\left({\frac {N^{2}}{(\log N)^{A}}}\right),}$

przy czym ${\displaystyle G(N)}$ dla ${\displaystyle N}$ nieparzystych jest funkcją ograniczoną.

Zmiany w podejściu polegały przede wszystkim na rozważaniu skończonej sumy trygonometrycznej

${\displaystyle S(\alpha )=\sum _{k\leqslant N}\Lambda (k)e(\alpha k),}$

gdzie ${\displaystyle N}$ jest ustaloną liczbą, a ${\displaystyle e(x)=e^{2\pi ix}.}$ Widzimy, że

${\displaystyle S(\alpha )^{3}=\sum _{n\leqslant 3N}\left(\sum _{\begin{array}{c}k_{1}+k_{2}+k_{3}=n\\k_{1},k_{2},k_{3}\leqslant N\end{array}}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3})\right)e(n\alpha )=\sum _{n\leqslant 3N}r(n,N)e(n\alpha ).}$

${\displaystyle r(n,N)=r(n)}$ dla ${\displaystyle n\leqslant N,}$ dlatego dowód Winogradowa opierał się na oszacowaniu całki

${\displaystyle r(n,N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha .}$

W miarę rozwoju nauki część matematyków powróciła do metod elementarnych, niewymagających korzystania z funkcji zeta ani funkcji L Dirichleta. Viggo Brun, dowodząc w 1919 r. zbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych bliźniaczych, zapoczątkował rozwój nowej poddziedziny analitycznej teorii liczb – teorii sit. Nowe twierdzenia umożliwiły ustalanie efektywnych szacowań odgórnych, ale nie aż tak dobrych szacowań oddolnych^[11].

Podejście Bruna kontynuował później Atle Selberg. Sito ${\displaystyle \Lambda ^{2},}$ nazywane dzisiaj jego nazwiskiem, umożliwiło wypracowanie zupełnie nowych wyników, m.in. w zakresie liczb pierwszych bliźniaczych, liczb pierwszych postaci ${\displaystyle n^{2}+1}$ czy liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.

W ostatnich latach rozwój badań skupiony jest przede wszystkim na dalszym pogłębianiu rozważań opartych na teorii sit, ale także wykorzystywaniu wcześniej niestosowanych w teorii liczb twierdzeń.

Do pierwszej grupy można zaliczyć wysiłki m.in. Zhang Yitanga, Jamesa Maynarda, Terence’a Tao, Bena Greena, a także całej grupy Polymath, skupionych na wypracowaniu jak najlepszego oszacowania

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})\leqslant K}$

(obecnie najlepszym wynikiem jest ${\displaystyle K=246}$ bezwarunkowo oraz ${\displaystyle K=6}$ przy założeniu uogólnionej hipotezy Elliotta-Halberstama).

Do drugiej grupy można zaliczyć twierdzenie Greena-Tao, mówiące o tym, że liczby pierwsze zawierają ciągi arytmetyczne dowolnej długości. Metoda dowodu twierdzenia oparta była na twierdzeniu Szemerédiego, dotyczącego gęstości podzbiorów zbioru liczb naturalnych.

Ze względu na częste występowanie w analitycznej teorii liczb obiektów takich, jak szeregi liczbowe, często stosuje się wobec nich twierdzenia abelowskie i tauberowskie. Grupa twierdzeń nazywanych abelowskimi – na cześć Nielsa Henrika Abela – mówi o tym, w jaki sposób zachowują się szeregi sumujące elementy danego ciągu w określony sposób, jeśli znamy asymptotyczne zachowanie wyrazów tego ciągu. Grupa twierdzeń odwrotnych, nazwanych po Alfredzie Tauberze, opisuje zachowanie ciągu przy znajomości zachowania szeregu.

Przykładowo, twierdzenie tauberowskie Harolda N. Shapiro^[1] mówi, że jeśli

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}a_{n}\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor =x\log x+O(x),}$

to

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}{\frac {a_{n}}{n}}=\log x+O(1).}$

Klasycznymi wnioskami z twierdzenia Shapiro są zależności^[1]

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x+O(1)}$

oraz

${\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {\log p}{p}}=\log x+O(1).}$

Pojęcie szeregu Dirichleta dotyczy w ogólności wszystkich szeregów postaci

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

gdzie ${\displaystyle s}$ jest liczbą zespoloną, ${\displaystyle \Re (s)>1.}$ W naturalny sposób, podczas badania szeregów Dirichleta, możemy definiować ich mnożenie z wykorzystaniem splotu Dirichleta,

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)=\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).}$

Choć oryginalne twierdzenie Eulera dotyczyło jedynie funkcji zeta na obszarze jej zbieżności, wnioski Eulera można uogólnić na wszystkie zbieżne szeregi postaci

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}},}$

gdzie ${\displaystyle a(n)}$ jest całkowicie multiplikatywną funkcją arytmetyczną, a ${\displaystyle s}$ – pewną liczbą zespoloną, przy czym ${\displaystyle \Re (s)>1.}$ Szeregi te można przedstawić równoważnie, w postaci iloczynu Eulera

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}\right)^{-1}.}$

Poniżej przedstawiono kilka z najważniejszych i zarazem najbardziej znanych problemów otwartych w analitycznej teorii liczb.

• Hipoteza Riemanna – czy każde nietrywialne miejsce zerowe funkcji zeta Riemanna leży na linii krytycznej ${\textstyle \Re (s)=1/2}$? Problem uznawany jest powszechnie za najbardziej znaczący w całej teorii liczb, doczekał się licznych publikacji. W praktyce, hipoteza Riemanna jest równoważna z zależnością

${\displaystyle \pi (x)={\text{Li}}(x)+O({\sqrt {x}}\log x),}$

gdzie Li oznacza resztę logarytmu całkowego

• Uogólniona hipoteza Riemanna – czy każde nietrywialne miejsce zerowe funkcji L Dirichleta leży na linii krytycznej ${\displaystyle \Re (s)=1/2}$? Prawdziwość tej hipotezy pociągałaby za sobą skutki analogiczne do zwykłej hipotezy Riemanna, ale dotyczące liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Jeśli jest ona prawdziwa, to

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}+O({\sqrt {x}}\log({qx})).}$

• Hipoteza Goldbacha – czy każda liczba parzysta większa niż 2 może być przedstawiona w postaci sumy dwóch liczb pierwszych?
• Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych – czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych ${\displaystyle p}$ takich, że ${\displaystyle p+2}$ jest również liczbą pierwszą?

• Problem stałej Linnika – jeśli ${\displaystyle p(q,a)}$ dla liczb całkowitych ${\displaystyle 0<a<q}$ oznacza najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu arytmetycznym ${\displaystyle a+nq}$ ${\displaystyle (n=0,1,2,\dots ),}$ to czy dla wszystkich par ${\displaystyle (q,a)}$ zachodzi zależność

${\displaystyle p(q,a)=O(q^{L})}$

dla stałej ${\displaystyle L=2}$? Pozytywne rozwiązanie byłoby znaczącym poprawieniem wyników Jurija Linnika, który pierwszy wykazał istnienie takiej stałej, ale nie podał żadnych wartości numerycznych. Współcześnie najlepszy wynik wynosi ${\displaystyle L=5}$^[12]. Przy założeniu uogólnionej hipotezy Riemanna można wykazać nierówność^[13]

${\displaystyle p(q,a)\leqslant \varphi (d)^{2}(\log d)^{2}.}$

• Analytic number theory (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].