|
Teoria układów dynamicznychTeoria układów dynamicznych – dziedzina matematyki zajmująca się układami dynamicznymi[1]. Najogólniej mówiąc, jest to nauka o zbiorach, na których możemy zdefiniować pewne przekształcenie. Znajduje ona liczne zastosowania, zarówno w naukach stosowanych jak i w matematyce teoretycznej. PoddziałyTeoria chaosuTeoria chaosu opisuje układy dynamiczne, które są szczególnie wrażliwe na warunki początkowe (potocznie bywa to nazywane efektem motyla). Pomimo że jest to w pełni chaos deterministyczny, tzn. określony jednoznacznie przez warunki początkowe, układy chaotyczne bywają na tyle skomplikowane, że dokładne ustalenie ich zachowania okazuje się być praktycznie niemożliwe[2]. Dynamika topologicznaDynamika topologiczna zajmuje się topologicznymi układami dynamicznymi. Dynamika symbolicznaDynamika symboliczna zajmuje się topologicznymi układami składającymi się z nieskończonych ciągów (odpowiadających stanom układu) i przekształcenia będącego przesunięciem (translacją).[3] Teoria ergodycznaTeoria ergodyczna zajmuje się własnościami statystycznymi układów dynamicznych, przede wszystkim - układów ergodycznych[4]. Formalnie, zakładamy zwykle, że przekształcenia w układzie zachowują miarę. Upraszczając. wielkość danego podzbioru całego układu jest "taka sama" przed i po działaniu przekształcenia. Intuicję stojącą za pojęciem ergodyczności można wyrazić tym, że przekształcanie układu dobrze "miesza" jego elementy. ZastosowaniaTeoria liczbJednym z najbardziej znanych wyników z teorii liczb udowodnionych z wykorzystaniem układów dynamicznych jest twierdzenie Van der Waerdena. W dowodzie wykorzystuje się twierdzenie Poincarégo o rekurencji. Pierwotny dowód był o wiele trudniejszy i korzystał ze skomplikowanych tożsamości kombinatorycznych[5]. Przypisy
Linki zewnętrzne
|
