Analiza harmoniczna

Ten artykuł dotyczy analizy widmowej w elektronice. Zobacz też: analiza widmowa w fizyce i chemii.

Analiza harmoniczna, analiza fourierowska – dział analizy matematycznej badający szeregi Fouriera i transformacje Fouriera^[1], powstały w XIX wieku przy badaniu równań różniczkowych cząstkowych. Od tego czasu skorzystał z osiągnięć innych działów matematyki, w tym: (a) analiza rzeczywista wypracowała warunki Dirichleta określające warunki nakładane na funkcje, by można je było analizować za pomocą szeregów i transformat Fouriera (b) analiza funkcjonalna zmieniła perspektywę na szeregi i transformacje Fouriera. W tej perspektywie szereg i transformata Fouriera są rozkładami wektorów w bazie przestrzeni Hilberta za pomocą iloczynu skalarnego.W XX wieku m.in. opracowano algorytm szybkiej transformacji Fouriera, poszerzono zakres i metody badań dzięki teorii dystrybucji oraz znaleziono zastosowania w teorii liczb^{[potrzebny przypis]}.

Analiza fourierowska to jeden z fundamentów fizyki matematycznej:

• jest narzędziem rozwiązywania równań
• jest podstawą analizy drgań i fal w mechanice, optyce i ogólnej teorii względności
• stanowi fundament fizyki kwantowej, zwłaszcza obrazu Schrödingera. Np. Zasada nieoznaczoności Heisenberga wynika z falowej natury ciał oraz twierdzeń analizy harmonicznej.

Analiza fourierowska prowadzi do utworzenia modelu stanowiącego sumę składowych harmonicznych (harmonik), tj. funkcji sinusoidalnych i cosinusoidalnych w określonym przedziale czasowym. Model ten przyjmuje na ogół postać:

${\displaystyle y_{t}=\alpha _{0}+\sum _{t=1}^{\frac {n}{2}}\left\{\alpha _{i}\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)+\beta _{i}\cdot \cos \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\right\},}$

gdzie:

${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{1}}$ – parametry modelu.

W przypadku, gdy w szeregu czasowym występuje tendencja rozwojowa (trend), model przyjmuje postać

${\displaystyle y_{t}=f(t)+\sum _{t=1}^{\frac {n}{2}}\left\{\alpha _{i}\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)+\beta _{i}\cdot \cos \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\right\},}$

zaś parametry modelu wynoszą:

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{t=1}^{n}yt,}$

${\displaystyle a_{i}={\frac {2}{n}}\cdot \sum _{t=1}^{n}yt\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\quad {}}$ dla ${\displaystyle i=1,2,\dots ,{\frac {n}{2}}-1,}$

${\displaystyle b_{i}={\frac {2}{n}}\cdot \sum _{t=1}^{n}yt\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\quad {}}$ dla ${\displaystyle i=1,2,\dots ,{\frac {n}{2}}-1.}$

Należy jednak pamiętać, iż dla ostatniej składowej harmonicznej mamy:

${\displaystyle a_{\frac {n}{2}}=0,}$

${\displaystyle b_{\frac {n}{2}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}yt\cdot \cos(\pi \cdot t)}$^[2].

• składowa harmoniczna
• współczynnik zawartości harmonicznych

• Maciej Mulak, Widmo możliwości, czyli analiza fourierowska, Politechnika Wrocławska, kanał „Fizyka bez zamulania” na YouTube, 4 września 2024 [dostęp 2024-09-23].
• Harmonic analysis (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].