梯度下降法

梯度下降法（英語：Gradient descent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最陡下降法，但是不該與近似積分的最陡下降法（英語：Method of steepest descent）混淆。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。

梯度下降方法基于以下的观察：如果实值函数${\displaystyle F(\mathbf {x} )}$在点${\displaystyle \mathbf {a} }$处可微且有定义，那么函数${\displaystyle F(\mathbf {x} )}$在${\displaystyle \mathbf {a} }$点沿着梯度相反的方向 ${\displaystyle -\nabla F(\mathbf {a} )}$ 下降最多。

因而，如果

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {a} -\gamma \nabla F(\mathbf {a} )}$

对于一個足够小数值${\displaystyle \gamma >0}$時成立，那么${\displaystyle F(\mathbf {a} )\geq F(\mathbf {b} )}$。

考虑到这一点，我们可以从函数${\displaystyle F}$的局部极小值的初始估计${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$出发，并考虑如下序列 ${\displaystyle \mathbf {x} _{0},\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots }$使得

${\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=\mathbf {x} _{n}-\gamma _{n}\nabla F(\mathbf {x} _{n}),\ n\geq 0}$。

因此可得到

${\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})\geq F(\mathbf {x} _{1})\geq F(\mathbf {x} _{2})\geq \cdots ,}$

如果顺利的话序列${\displaystyle (\mathbf {x} _{n})}$收敛到期望的局部极小值。注意每次迭代步长${\displaystyle \gamma }$可以改变。

右侧的图片示例了这一过程，这里假设${\displaystyle F}$定义在平面上，并且函数图像是一个碗形。蓝色的曲线是等高线（水平集），即函数${\displaystyle F}$为常数的集合构成的曲线。红色的箭头指向该点梯度的反方向。（一点处的梯度方向与通过该点的等高线垂直）。沿着梯度下降方向，将最终到达碗底，即函数${\displaystyle F}$局部極小值的点。

梯度下降法处理一些复杂的非线性函数会出现问题，例如Rosenbrock函數

${\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(y-x^{2})^{2}.\quad }$

其最小值在${\displaystyle (x,y)=(1,1)}$处，数值为${\displaystyle f(x,y)=0}$。但是此函数具有狭窄弯曲的山谷，最小值${\displaystyle (x,y)=(1,1)}$就在这些山谷之中，并且谷底很平。优化过程是之字形的向极小值点靠近，速度非常缓慢。

下面这个例子也鲜明的示例了"之字"的上升（非下降），这个例子用梯度上升（非梯度下降）法求${\displaystyle F(x,y)=\sin \left({\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}y^{2}+3\right)\cos(2x+1-e^{y})}$的局部极大值（非局部极小值）。

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梯度下降法的缺點包括：^[1]

• 靠近局部極小值时速度减慢。
• 直線搜索可能會產生一些問題。
• 可能會“之字型”地下降。

上述例子也已体现出了这些缺点。

• Mordecai Avriel (2003). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing. ISBN 0-486-43227-0.
• Jan A. Snyman (2005). Practical Mathematical Optimization: An Introduction to Basic Optimization Theory and Classical and New Gradient-Based Algorithms. Springer Publishing. ISBN 0-387-24348-8

• （英文）Interactive examples of gradient descent and some step size selection methods （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文）Using gradient descent in C++, Boost, Ublas for linear regression （页面存档备份，存于互联网档案馆）