Le mathématicien ukrainien Vladimir Drinfeld a établi le cas du groupe linéaire en deux variables sur les corps de fonctions des courbes en caractéristique positive.
Généralisant la méthode de Drinfeld, Laurent Lafforgue démontre le cas des groupes linéaires en un nombre quelconque de variables sur ces mêmes corps de fonctions.
Laurent Lafforgue est membre de l'Académie des sciences, section mathématiques, depuis le 18 novembre 2003[4].
En 2004, il commence à s'intéresser au système éducatif français et se rapproche du collectif Sauver les lettres. Il cosigne avec Alain Connes et d'autres scientifiques le texte Les savoirs fondamentaux au service de l’avenir scientifique et technique : comment les réenseigner où ils expriment leur point de vue sur l'enseignement des mathématiques et du français à l'école primaire.
Nommé membre du Haut Conseil de l'éducation (HCE) — alors instauré par la loi Fillon — par le président de la République de l’époque, Jacques Chirac, il en démissionne à la demande du président du HCE au lendemain de la première réunion de travail le 21 novembre 2005. Selon Laurent Lafforgue, le motif invoqué aurait été le contenu virulent d'un courriel où il expose ses réticences concernant la qualification des experts du ministère de l'Éducation nationale nommés pour mener à bien le travail du HCE[5]. Il est remplacé le 2 mars 2006 par Antoine Compagnon, universitaire et historien de la littérature[6].
Il écrit avec Liliane Lurçat un livre intitulé La Débâcle de l'école — publié par les éditions François-Xavier de Guibert en 2007 — et donne de nombreuses interviews et conférences sur l'éducation.
En 2016, il cofonde l'École professorale de Paris, établissement privé de formation des enseignants[7],[8].
Laurent Lafforgue s'est engagé vigoureusement pour la promotion d'un enseignement classique dans l'école républicaine. Il dénonce le « reniement par l'école de ses principes », et promeut l'enseignement laïc et républicain, qui est pour lui un héritier des écoles chrétiennes, et dont il est personnellement issu, ainsi que ses parents et frères[11].
Laurent Lafforgue, « Chtoucas de Drinfeld et applications » (Drinfeld shtukas and applications), Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 563—570
Laurent Lafforgue, « Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands » (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence), Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 383—400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.