Suite spectrale de Serre (d), suite spectrale Lyndon-Hochschild-Serre (d), théorème de Serre-Tate (d), théorème de Serre-Swan (d), théorème de Serre (d)
Jean-Pierre Serre nait en 1926 à Bages (Pyrénées-Orientales) d'Adèle et Jean Serre, pharmaciens[3], et passe son enfance à Vauvert où ils sont installés.
Il est successivement chargé de recherche au CNRS (1951-1953), maître de recherche au CNRS (1953-1954), maître de conférences à la faculté des sciences de l'université de Nancy (1954-1956) et parallèlement chargé du Cours Peccot au Collège de France en 1954-1955. En 1954 à l'âge de 27 ans, Jean-Pierre Serre devient le plus jeune lauréat de la médaille Fields[6], considérée comme l'équivalent d'un prix Nobel de mathématiques (celui-ci n'existant pas). En 1956, à l'âge de 29 ans et benjamin du corps professoral[6], Serre est élu au Collège de France (chaire d'algèbre et de géométrie), où il enseigne jusqu'à sa retraite en 1994, ainsi que dans plusieurs universités étrangères, en particulier à l'université Harvard et à l'Institute for Advanced Study de Princeton. Serre reste, dans l'histoire du Collège de France depuis sa création, l'un de ses plus jeunes professeurs. Il en est aujourd'hui professeur honoraire.
Jean-Pierre Serre est l'un des collaborateurs de Nicolas Bourbaki de 1949 à 1974. Il contribue à son séminaire avec 37 exposés, le premier en 1950 et le dernier en 2018[10].
Serre commence sa carrière à l'école d'Henri Cartan, en travaillant en topologie algébrique, en théorie des fonctions de plusieurs variables complexes, puis en algèbre commutative et en géométrie algébrique. Dans sa thèse[13] sous la supervision d'Henri Cartan, il utilise les suites spectrales de Serre(en) et les espaces d'Eilenberg-MacLane pour calculer les groupes d'homotopie des sphères, un problème très important à l'époque en topologie algébrique.
De cette époque date aussi la suite spectrale de Hochschild-Serre(en) permettant de calculer la cohomologie d'un groupe G à partir de celle d'un sous-groupe distingué H et de celle du quotient G/H.
Après sa thèse, Serre change de sujets de recherche[14].
Dès les premiers temps de sa recherche, Serre perçoit la nécessité de construire des théories de cohomologie plus générales et raffinées pour attaquer les conjectures de Weil. Le problème est que la cohomologie d'un faisceau cohérent sur un corps fini ne peut décrire une topologie aussi finement que la cohomologie singulière à coefficients entiers. Parmi les théories candidates de Serre dans les années 1954-1955, il y en a une à coefficients dans les vecteurs de Witt.
Autour de 1958, Serre suggère que les fibrés principaux qui sont trivialisés par des revêtements étales sont des objets importants. Cela constitue un pas significatif vers la théorie de la topologie étale[15]. Grothendieck et d'autres collaborateurs du Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie mettent au point cette théorie, qui est maintenant d'usage constant, à la fois en géométrie algébrique et en théorie des nombres.
Autres travaux
À partir de 1959, Serre s'intéresse à la théorie des groupes et à la théorie des nombres, en particulier aux représentations galoisiennes et aux formes modulaires. Parmi ses contributions dans ces domaines figurent :
La définition des formes modulaires p-adiques(en) et la construction des fonctions zêta p-adiques des corps totalement réels.
La preuve du fait que les représentations galoisiennes associées aux points de torsion des courbes elliptiques sans multiplication complexe ont souvent une « grosse » image[16].
La preuve de ce que deux courbes elliptiques ayant même fonction L sont isogènes si l'une a un invariant non entier (cette restriction a été levée par Gerd Faltings).
La construction (avec Pierre Deligne) de représentations galoisiennes associées aux formes modulaires de poids 1.
Une compactification (avec Armand Borel) des espaces symétriques associés aux groupes algébriques et de leurs quotients par des groupes arithmétiques.
Le problème, introduit dans son article FAC, demandant si un module projectif de type fini sur un anneau de polynômes est libre. Ce problème a été résolu : c'est le théorème de Quillen-Suslin.
Dans les années 80, il émet des réserves quant à la validité de la classification des groupes simples finis[17]. Par la suite, certains passages de la preuve ont été précisés. En 2022, la classification est considérée comme achevée, bien qu'aucune démonstration complète n'ait été publiée.
Lectures on the Mordell-Weil Theorem, Vieweg Verlag (1989)
Topics in Galois Theory, AK Peters Publisher (1992)
Exposés de séminaires 1950-1999, SMF (2001)
Cohomological Invariants in Galois Cohomology, avec Skip Garibaldi et Alexander Merkurjev, AMS (2003)
Correspondance Grothendieck-Serre, éditée en collaboration avec P. Colmez, SMF (2003)
Lectures on NX(p), AK Peters Publisher (2011)
Correspondance Serre-Tate, éditée en collaboration avec P. Colmez, SMF (2015)
Finite Groups: an Introduction, Higher Education Press & International Press (2016)
Rational Points on curves over Finite Fields, avec contributions de E. Howe, J. Oesterlé et C. Ritzenthaler, SMF (2020)
Une liste de corrections et compléments à ces différents livres est disponible sur sa page du Collège de France, dans la rubrique textes à télécharger[25].
↑Jean-Pierre Serre, « Propriétés galoisiennes des points d’ordre fini des courbes elliptiques », dans Oeuvres - Collected Papers III, Springer Berlin Heidelberg, (ISBN978-3-642-39837-7, lire en ligne), p. 1–73