Nata in una cittadina del Missouri, figlia di Leon Elwin Page, medico osteopata, e Pearl Maize Page, casalinga, aveva un fratello maggiore di nome Donald. Nel 1929 la famiglia si trasferì a Chicago, ove Geraldine intraprese studi artistici, dedicandosi anche alla pittura e alla musica; successivamente si avvicinò al teatro, unendosi alla compagnia drammatica della chiesa locale e iniziando ad appassionarsi alla carriera di alcune note attrici, come Lucille La Verne, Maude Adams ed Eva Le Gallienne. Dopo essersi diplomata all'Art Institute of Chicago nel 1942, entrò alla Goodman Theatre School, ove si esibì in vari spettacoli e si occupò anche di un gruppo teatrale dedicato ai bambini.
Negli anni successivi prese parte a diversi spettacoli teatrali universitari allestiti tra New York e Chicago. Nel 1948 debuttò a New York con una produzione Off-Broadway di Seven Mirrors e lavorò anche in drammi radiofonici. Nel 1952 fu la protagonista, con il ruolo di Alma Winemiller, di una più ambiziosa produzione, basata sull'opera Summer and Smoke di Tennessee Williams e con la regia di José Quintero, che ottenne un successo di pubblico e di critica tale da farle vincere il New York Drama Critics' Circle, prima attrice di una produzione non di Broadway a ricevere tale premio.
Pur continuando a recitare in programmi radiofonici e riduzioni teatrali destinate alla televisione, nel gennaio del 1953 debuttò nel circuito ufficiale di Broadway con la commedia di Viña DelmarMid-Summer, interpretando il personaggio di una donna non istruita sposata con un insegnante, che ottenne molte lodi da parte della critica. Dopo una breve apparizione non accreditata nel film Taxi (1953) di Gregory Ratoff, ove interpretava una vivace ragazza in cerca d'amore, le venne assegnato il ruolo di una giovane vedova volitiva, al fianco di John Wayne, nel western Hondo (1954) di John Farrow; malgrado la candidatura all'Oscar come migliore attrice protagonista per questo film, non ricevette altre buone offerte da parte di Hollywood e fece ritorno a New York.
In compenso, nell'arco degli anni cinquanta la sua carriera teatrale ebbe uno sviluppo sorprendente e con il consenso crescente della critica, grazie anche al perfezionamento con i corsi di recitazione prima all'Herbert Berghof School of Acting, ove ebbe come insegnante Uta Hagen, e in seguito presso l'Actors Studio, allora diretto da Lee Strasberg, e alle intense interpretazioni di donne non particolarmente attraenti, secondo gli standard canonici dell'epoca, e tuttavia dotate di fascino e di un carattere tormentato e fragile, ma anche deciso e vitale. Nella sua carriera teatrale e televisiva predilesse testi di autori come William Faulkner, Eugene O'Neill, Jean Giraudoux, Clifford Odets e William Somerset Maugham; nel 1954 affiancò James Dean in L'immoralista, basato sul romanzo omonimo (1902) di André Gide; nel 1960 vinse il premio Sarah Siddons per la sua interpretazione in Chicago.
Nel marzo del 1959, sotto la direzione di Elia Kazan, ottenne uno dei suoi maggiori e più identificativi successi teatrali con l'audace ruolo, per l'epoca, di Alexandra Del Lago, capricciosa star del cinema sul viale del tramonto dedita ad alcool, droghe e gigolò in Sweet Bird of Youth di Tennessee Williams, ove affiancò Paul Newman, Sidney Blackmer, Rip Torn, Diana Hyland, Madeleine Sherwood e Bruce Dern, e che le valse una candidatura al Tony Award e il rinnovato interesse di Hollywood. All'inizio del decennio successivo tornò a recitare sul grande schermo con le trasposizioni di due suoi successi teatrali, entrambe coronate da una candidatura al premio Oscar alla miglior attrice: Estate e fumo (1961) di Peter Glenville, accanto a Laurence Harvey, Pamela Tiffin e Rita Moreno, e La dolce ala della giovinezza (1962) di Richard Brooks, ancora in coppia con Paul Newman e insieme ad alcuni attori della versione teatrale di tre anni prima, imponendo senza modifiche e censure il proprio personaggio. Da allora, senza adeguarsi alle rigide regole dello star system hollywoodiano, alternò le apparizioni al cinema con quelle in teatro, tanto da guadagnarsi - secondo la maggior parte dei critici - la fama di una delle più grandi attrici statunitensi di tutti i tempi.
Dopo un breve matrimonio (1954-1956) con il violinista e direttore d'orchestra di origine lituana Alexander Schneider, terminato con il divorzio, nel 1963 sposò il collega Rip Torn, suo partner nella versione teatrale e in quella cinematografica di La dolce ala della giovinezza, e con il quale tornò a recitare nei film Buttati Bernardo! (1966) e Cattive abitudini (1977); nel 1973 Torn diresse la moglie in teatro a Broadway in Look Away di Jerome Kilty. Dalla loro unione sono nati Angelica (1964), divenuta anch'essa attrice, e i gemelli Anthony S. e Jonathan Leon (1965), entrambi apparsi in un cameo insieme alla madre in una breve scena del film In viaggio verso Bountiful, accreditati come Tony e Jon Torn.
È morta a 62 anni, per le conseguenze di un infarto, il 13 giugno 1987, mentre era impegnata nelle recite teatrali di Spirito allegro di Noël Coward. Subito dopo i funerali privati, in un teatro di Broadway si svolse una cerimonia commemorativa alla presenza di numerose celebrità, tra cui Meryl Streep, Jessica Tandy e Paul Newman, e con l'omaggio anche di un mazzo di fiori inviato direttamente dalla Presidenza della Casa Bianca. Per volontà della famiglia le sue spoglie furono cremate.
Nel corso della sua intensa carriera di attrice teatrale e cinematografica, oltre che di insegnante di recitazione, ricevette numerosi premi, raggiungendo traguardi paragonabili a poche altre attrici, anche di generazioni successive: vinse il premio Oscar alla miglior attrice nel 1986 per In viaggio verso Bountiful di Peter Masterson, ricevendo altre sette candidature; ottenne inoltre otto candidature ai Golden Globe, vincendone un paio, due candidature al Premio BAFTA, vincendone uno, due candidature al Kansas City Film Critics Circle, vincendone una, oltre a tre candidature al Tony Award.
Nelle vesti di attrice candidata al premio Oscar e invitata insieme al marito alla cerimonia di premiazione a Hollywood nel 1963, è stata interpretata nel 2017 da Sarah Paulson nella serie TV Feud: Bette and Joan. La figlia Angelica Page le ha reso omaggio interpretandola nel monologo Turning Page, da lei scritto e presentato negli anni 2015-2017 in alcuni teatri di Los Angeles e New York.