Forma kwadratowa

Forma kwadratowa (funkcjonał kwadratowy) – wielomian jednorodny II stopnia ${\displaystyle n}$ zmiennych określony na przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ – zmienne występują tu najwyżej w drugiej potędze; ogólna postać^[1]:

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )\equiv Q(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},}$

gdzie:

• ${\displaystyle a_{ij}}$ – stałe współczynniki liczbowe – całkowite, wymierne, rzeczywiste lub zespolone,
• ${\displaystyle x_{i},x_{j},i,j=1,\dots ,n}$ – zmienne, współrzędne dowolnego wektora ${\displaystyle \mathbf {x} }$ danej przestrzeni liniowej ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\dots ,x_{n}],}$
• jednorodność II stopnia oznacza, że dla dowolnej liczby ${\displaystyle c\in K}$ zachodzi równość,

  ${\displaystyle Q(c\,\mathbf {x} )=c^{2}\,Q(\mathbf {x} ).}$

W przypadku jednej zmiennej, dwóch zmiennych oraz trzech zmiennych formy nazywa się odpowiednio unarną, binarną i ternarną. Mają one postacie:

${\displaystyle Q(x)=a\,x^{2}\quad {\textrm {(unarna)}},}$

${\displaystyle Q(x,y)=a\,x^{2}+b\,xy+c\,y^{2}\quad {\textrm {(binarna)}},}$

${\displaystyle Q(x,y,z)=a\,x^{2}+b\,y^{2}+c\,z^{2}+d\,xy+e\,xz+f\,yz\quad {\textrm {(ternarna)}},}$

gdzie ${\displaystyle a,\dots ,f}$ są stałymi współczynnikami^[a].

Np.

${\displaystyle Q(x,y,z)=4x^{2}+2xy-3y^{2}+z^{2}}$

jest formą kwadratową trzech zmiennych ${\displaystyle x,y,z.}$

Funkcje kwadratowe, jak np. ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ w przypadku jednej zmiennej, nie są na ogół formami kwadratowymi, gdyż nie są jednorodne (chyba że ${\displaystyle b}$ oraz ${\displaystyle c}$ są równe 0).

Pojęcie formy kwadratowej zajmuje fundamentalne miejsce w różnych działach matematyki, takich jak np. teoria liczb, algebra liniowa, teoria grup (w tym teoria grup ortogonalnych), geometria różniczkowa (metryka Riemanna, druga forma fundamentalna), topologia różniczkowa.

Uwaga: O ile nie zaznaczono inaczej, w artykule rozpatruje się przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem ${\displaystyle K}$ charakterystyki różnej od 2.

Pytania, czy jakaś liczba całkowita spełnia zadaną formę kwadratową, zadawano wiele stuleci temu. Przykładem jest teoria Fermata o sumie dwóch kwadratów, która określa, kiedy istnieje liczba całkowita spełniająca formę ${\displaystyle x^{2}+y^{2},}$ gdzie ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ – liczby całkowite. Problem ten jest analogiczny do znajdowania trójek pitagorejskich, który pojawił się w drugim tysiącleciu p.n. Chr.^[b]

W 628, Hinduski matematyk Brahmagupta napisał dzieło Brāhmasphuṭasiddhānta zawierające m.in. wyniki badań równań typu ${\displaystyle 1=x^{2}-ny^{2}=c.}$ W szczególności znalazł rozwiązanie równania (zwanego dziś równaniem Pella) ${\displaystyle 1=x^{2}-ny^{2}=1}$^[c]. W Europie problem ten badali Brouncker, Euler i Lagrange.

W 1801 Gauss opublikował dzieło Disquisitiones Arithmeticae, w którym główną część poświęcił teorii binarnych form kwadratowych o współczynnikach całkowitych. Jego idee zostały uogólnione i z czasem odkryto związki z liczbowymi ciałami kwadratowymi, z grupami modularnymi i innymi działami matematyki.

Tw. 1 Każdej formie kwadratowej^[d][e] ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )}$ odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )}$ określona na tej samej przestrzeni, tak że zachodzą związki

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ),}$

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )={\tfrac {1}{2}}(Q(\mathbf {x+y} )-Q(\mathbf {x} )-Q(\mathbf {y} )).}$

Np.

(a) formą dwuliniową dodatnio określoną i symetryczną jest iloczyn skalarny wektorów ${\displaystyle \langle \mathbf {x,y} \rangle }$

${\displaystyle B(\mathbf {x,y} )\equiv \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle \geqslant 0,}$

(b) formą kwadratową odpowiadająca jednoznacznie iloczynowi skalarnemu jest iloczyn skalarny wektora przez samego siebie – definiuje on kwadrat normy, która określa długości wektorów przestrzeni liniowej:

${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle =||\mathbf {x} ||^{2}.}$

Df. Funkcję ${\displaystyle B}$ nazywa się formą dwuliniową odpowiadającą formie ${\displaystyle Q}$ (stowarzyszoną z formą ${\displaystyle Q}$).

Czynnik ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ jest powodem, dla którego wyklucza się ciała, w których ${\displaystyle 2=0;}$ formy kwadratowe w ciałach charakterystyki 2 opisano w oddzielnej sekcji.

Jeżeli ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią liniową skończonego wymiaru ${\displaystyle n,}$ to wybór bazy przestrzeni prowadzi do przedstawienia ${\displaystyle Q}$ w postaci jednorodnego wielomianu kwadratowego^[f]. Z drugiej strony dowolny jednorodny wielomian II stopnia ${\displaystyle V\to K}$ zadaje we współrzędnych pewnej bazy formę kwadratową na ${\displaystyle V}$^[g].

Tw. Forma dwuliniowa jest symetryczna.

Df. Formy kwadratowe nazywa się równoważnymi, jeśli równoważne są odpowiadające im formy dwuliniowe^[h].

Df. Przestrzeń ${\displaystyle (V,Q)}$ nazywa się przestrzenią kwadratową.

Df. Przestrzenie ${\displaystyle (V_{1},Q_{1})}$ i ${\displaystyle (V_{2},Q_{2})}$ nazywa się izomorficznymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm liniowy ${\displaystyle \mathrm {A} \colon V_{1}\to V_{2},}$ że

${\displaystyle Q_{2}(\mathrm {A} (\mathbf {x} ))=Q_{1}(\mathbf {x} ),}$

dla wszystkich ${\displaystyle \mathbf {x} \in V_{1}.}$

Df. Ortogonalną sumą prostą ${\displaystyle V_{1}\perp V_{2}}$ przestrzeni ${\displaystyle (V_{1},Q_{1})}$ i ${\displaystyle (V_{2},Q_{2})}$ nazywa się sumę prostą przestrzeni ${\displaystyle V_{1}\oplus V_{2},}$ w której zdefiniowano formą kwadratową

${\displaystyle Q(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=Q_{1}(\mathbf {x} _{1})+Q_{2}(\mathbf {x} _{2}).}$

Oznaczenie: ${\displaystyle V^{\perp n}}$ oznacza ${\displaystyle n}$-krotną ortogonalną sumę prostą przestrzeni kwadratowej ${\displaystyle V}$ ze sobą.

Df. Wektorem izotropowym względem ${\displaystyle Q}$ (bądź ${\displaystyle V}$) nazywa się niezerowy wektor ${\displaystyle \mathbf {x} \in V,}$ dla którego

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=0.}$

Innymi słowy: wektor izotropowy to wektor niezerowy, będący rozwiązaniem równania

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=0,}$

czyli wektor niezerowy, który jest ortogonalny sam do siebie.

 Zobacz też: macierz formy dwuliniowej.

(1) Wybierając bazę w ${\displaystyle V}$ formie kwadratowej ${\displaystyle Q}$ zdefiniowanej na przestrzeni ${\displaystyle n}$-wymiarowej, można przypisać macierz ${\displaystyle A}$ symetryczną ${\displaystyle n\times n}$ w następujący sposób:

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )\equiv Q(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\text{T}}A\,\mathbf {x} ,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ jest dowolnym wektorem o ${\displaystyle n}$ współrzędnych ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$ takich że nie wszystkie współrzędne są równe zeru; indeks górny ${\displaystyle ^{\mathrm {T} }}$ oznacza transpozycję.

Macierz ${\displaystyle A}$ nazywaną macierzą formy kwadratowej względem ustalonej bazy^[i].

(2) Symetrycznej formie dwuliniowej ${\displaystyle B}$ stowarzyszonej z formą ${\displaystyle Q}$ odpowiada identyczna macierz ${\displaystyle A,}$ taka że

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{T}A\,\mathbf {y} .}$

(3) Zmiana bazy w ${\displaystyle V}$ powoduje, że formie ${\displaystyle Q}$ przyporządkowana zostaje inna macierz ${\displaystyle A',}$ przy czym zachodzi związek

${\displaystyle A'=C^{T}A\,C.}$

gdzie ${\displaystyle C}$ jest macierzą zamiany bazy.

Df. Macierze danej formy kwadratowej, wyrażone w różnych bazach, nazywa się macierzami przystającymi.

Df. Wyróżnikiem formy kwadratowej ${\displaystyle Q}$ reprezentowanej przez macierz ${\displaystyle A}$ nazywa się liczbę

${\displaystyle \Delta _{Q}=\det A}$ modulo niezerowe kwadraty,

gdzie ${\displaystyle \det A}$ – wyznacznik macierzy ${\displaystyle A.}$

Df. Formę kwadratową nazywa się niezdegenerowaną (nieosobliwą), gdy jej macierz jest odwracalna, tzn. ma niezerowy wyznacznik.

 Zobacz też: diagonalizacja.

Df. Forma kwadratowa ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )}$ jest w postaci diagonalnej, jeśli zadana jest jako suma kwadratów współrzędnych wektora ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$ tj.

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )\equiv Q(x_{1},\dots ,x_{n})=a_{1}\,x_{1}^{2}+\ldots +a_{n}\,x_{n}^{2}.}$

Tw. Forma kwadratowa ${\displaystyle Q}$ jest w postaci diagonalnej, jeżeli jej reprezentacja macierzowa jest diagonalna, tzn. wszystkie wyrazy macierzy poza główną przekątną są równe zeru.

Twierdzenie Lagrange’a

Dla każdej formy kwadratowej istnieje baza, w której forma ma postać diagonalną

Tw. Wyznacznik formy kwadratowej w postaci diagonalnej wynosi

${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}{\bmod {(}}K^{*})^{2}}$^[j]

Konstrukcja bazy ortogonalnej

Konstrukcję bazy ortogonalnej można przeprowadzić w oparciu o własności odpowiadającej jej formy dwuliniowej:

1. należy rozpocząć od wyboru dowolnego wektora ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},}$ dla którego ${\displaystyle Q(\mathbf {e} _{1})\neq 0,}$
2. trzeba wybrać z podprzestrzeni ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{\perp }}$ wektor ${\displaystyle \mathbf {e} _{2},}$ taki że ${\displaystyle Q(\mathbf {e} _{2})\neq 0;}$ wektory ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ i ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ są ortogonalne i liniowo niezależne,
3. należy przejść do ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{\perp }\cap \mathbf {e} _{2}^{\perp }}$ i wskazać w niej wektor ${\displaystyle \mathbf {e} _{3},}$ taki że ${\displaystyle Q(\mathbf {e} _{3})\neq 0}$ itd.,
4. proces kończy się na podprzestrzeni, na której ${\displaystyle Q}$ zeruje się tożsamościowo:
   1. jeśli jest to podprzestrzeń zerowa, to wybrane wektory tworzą bazę, w której ${\displaystyle Q}$ ma postać diagonalną,
   2. w przeciwnym wypadku bazę diagonalizującą ${\displaystyle Q}$ na całej przestrzeni tworzą wybrane wektory oraz dowolna baza otrzymanej podprzestrzeni.

Twierdzenia

Następujące stwierdzenie charakteryzuje formy kwadratowe wprowadzające liczby podwójne. Dla formy kwadratowej ${\displaystyle Q}$ określonej na przestrzeni dwuwymiarowej następujące warunki są równoważne:

(a) ma ona postać ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ w pewnej bazie,

(b) jej wyróżnik jest równy ${\displaystyle -1,}$

(c) jest ona niezdegenerowana i daje wektory izotropowe.

W tej sekcji ${\displaystyle Q}$ będzie niezdegenerowana, zaś ${\displaystyle K}$ oznaczać będzie liczby rzeczywiste ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ liczby zespolone ${\displaystyle \mathbb {C} }$ lub dowolne ciało skończone ${\displaystyle \mathbb {F} }$ nieparzystej charakterystyki.

 Osobny artykuł: twierdzenie o bezwładności form kwadratowych.

Twierdzenie^[k]

Każda forma kwadratowa na ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ jest równoważna z formą diagonalną ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}^{2}+\ldots +\mathbf {x} _{n}^{2}.}$

Twierdzenie

Dowolna forma kwadratowa na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest równoważna z formą diagonalną postaci

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}^{2}+\ldots +\mathbf {x} _{p}^{2}-\mathbf {x} _{p+1}^{2}-\ldots -\mathbf {x} _{n}^{2},}$

gdzie: ${\displaystyle p\in [0,n].}$

Jeśli ${\displaystyle p+q=p'+q',}$ to formy

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{p,q}}$ oraz ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{p',q'}}$

są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle p=p'}$ i ${\displaystyle q=q'.}$

Wniosek:

Dana forma kwadratowa na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest wyznaczona z dokładnością do równoważności przez parę liczb ${\displaystyle (p,q),}$ którą można uzyskać z diagonalizacji formy:

${\displaystyle p}$ jest liczbą znaków dodatnich,

${\displaystyle q=n-p}$ to liczba znaków ujemnych.

Df. Parę liczb ${\displaystyle (p,q)}$ nazywa się sygnaturą formy kwadratowej.

(czasem sygnaturą nazywa się tylko liczbę ${\displaystyle p,}$ gdyż ${\displaystyle q}$ jest jednoznacznie wyznaczone przy danym ${\displaystyle n}$).

Formy kwadratowe wprowadzają na zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• najogólniejsze metryki różniczkowe zwane metrykami pseudoriemannowskimi,
• przez to generują najogólniejsze rozmaitości – rozmaitości pseudoriemannowskie ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q},}$ gdzie ${\displaystyle n=p+q,}$
• metryki zaś umożliwiają definicję innych wielkości geometrycznych rozmaitości

– mówimy, że formy kwadratowe generują geometrie pseudoriemannowskie (w szczególnym przypadku formy – geometrię euklidesową). Z tego względu formy kwadratowe mają fundamentalne znaczenie dla geometrii różniczkowej.

 Zobacz też: określoność formy.

Df. Formę kwadratową ${\displaystyle Q}$ na przestrzeni liniowej nad ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nazywa się dodatnio określoną (lub dodatnią), jeżeli ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )>0}$ i ujemnie określoną (lub ujemną), gdy ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )<0}$ dla wszystkich ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$^[l]

Tw. Każda dodatnio określona forma na przestrzeni wymiaru ${\displaystyle n}$ jest równoważna sumie ${\displaystyle n}$ kwadratów. Podobnie ma się rzecz z formami określonymi ujemnie.

Własności te nie zależą od wyboru współrzędnych w przestrzeni.

Jeśli ${\displaystyle Q}$ jest określona na przestrzeni ${\displaystyle V}$ co najmniej trójwymiarowej nad ciałem skończonym ${\displaystyle K,}$ to daje ona wektory izotropowe. W ciele dowolnej charakterystyki pociąga to uniwersalność formy ${\displaystyle Q,}$ tzn. ${\displaystyle Q(V)=K}$^[m][n]. Choć stwierdzenie o istnieniu wektorów izotropowych w dowolnych przestrzeniach wymiaru 2 nie jest prawdziwe, to prawdą jest, iż dowolna forma na przestrzeni dwuwymiarowej nad ciałem skończonym jest uniwersalna^[o].

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle c\in K^{*}}$ będzie niekwadratem. Dowolna forma kwadratowa na przestrzeni liniowej wymiaru ${\displaystyle n\geqslant 1}$ nad ciałem skończonym ${\displaystyle K}$ jest równoważna z dokładnie jedną formą na ${\displaystyle K^{n},}$ mianowicie: ${\displaystyle x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}$ lub

${\displaystyle x_{1}^{2}+\ldots +x_{n-1}^{2}+cx_{n}^{2}.}$

W szczególności wymiar i wyróżnik wyznaczają formę nad ciałem skończonym w sposób jednoznaczny z dokładnością do równoważności.

 Zobacz też: reguła równoległoboku i tożsamość polaryzacyjna.

Tw. 1 Dla dowolnej formy kwadratowej ${\displaystyle Q}$ zachodzi wzór nazywany regułą równoległoboku^[p]

${\displaystyle Q(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+Q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )=2{\big (}Q(\mathbf {x} )+Q(\mathbf {y} ){\big )}.}$

Tw. 2 Podobny wzór

${\displaystyle Q(\mathbf {x} +\mathbf {y} )-Q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )=4B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$

znany również jako tożsamość polaryzacyjna, wyraża formę dwuliniową ${\displaystyle B}$ za pomocą formy kwadratowej ${\displaystyle Q,}$ jednak w inny sposób niż podany w definicji.

Być może oba powyższe wzory mogą posłużyć do zdefiniowania formy kwadratowej? Zagadnieniem tym zajęli się John von Neumann i Pascual Jordan, którzy dowiedli

Tw. 3 (Jordana-von Neumanna)

Założenia:

(1) ${\displaystyle Q\colon V\to K}$ spełnia tożsamość

${\displaystyle Q(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+Q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )=2Q(\mathbf {x} )+2Q(\mathbf {y} ).}$

(2) ${\displaystyle B\colon V\times V\to K}$ jest określona wzorem

${\displaystyle 4B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=Q(\mathbf {x} +\mathbf {y} )-Q(\mathbf {x} -\mathbf {y} ).}$

Teza:

${\displaystyle B}$ jest symetryczna, dwuaddytywna oraz

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=Q(\mathbf {x} ).}$

Dwuaddytywność pociąga ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-dwuliniowość. Stąd ${\displaystyle B}$ z powyższego twierdzenia jest ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-dwuliniowa, jeśli ${\displaystyle K}$ jest charakterystyki zero lub ${\displaystyle \mathbb {F} }$-dwuliniowa, jeśli ${\displaystyle K}$ jest charakterystyki ${\displaystyle p.}$ Oznacza to, że jeśli ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ lub ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ to forma ${\displaystyle Q}$ jest kwadratowa. Jeżeli ${\displaystyle K=\mathbb {R} ,}$ to forma ${\displaystyle Q}$ jest kwadratowa, o ile ${\displaystyle V}$ jest skończonego wymiaru (bądź ogólniej: zupełna), przy dodatkowym założeniu, że ${\displaystyle Q}$ jest ciągła (co pociąga ciągłość ${\displaystyle B,}$ a stąd jej ${\displaystyle \mathbb {R} }$-dwuliniowość).

Przy oznaczeniach ${\displaystyle \|\cdot \|=Q(\cdot )}$ oraz ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle =B(\cdot ,\cdot )}$ i przyjęciu ${\displaystyle K=\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ powyższe twierdzenie mówi, że:

• w dowolnej przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$ z normą ${\displaystyle \|\cdot \|,}$ w której spełniona jest tożsamość równoległoboku, można wprowadzić iloczyn skalarny ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ za pomocą tożsamości polaryzacyjnej,
• wprowadzenie to czyni z ${\displaystyle X}$ przestrzeń Hilberta.

O ile nie zaznaczono inaczej, niżej przestrzenie liniowe określone są nad ustalonym ciałem ${\displaystyle K}$ charakterystyki 2.

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową. Przekształcenie ${\displaystyle Q\colon V\to K}$ nazywa się formą kwadratową albo funkcjonałem kwadratowym na ${\displaystyle V,}$ jeżeli:

• jest jednorodne II stopnia,

  ${\displaystyle Q(c\mathbf {x} )=c^{2}Q(\mathbf {x} ),}$

• następująca funkcja jest dwuliniowa:

  ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=Q(\mathbf {x} +\mathbf {y} )-Q(\mathbf {x} )-Q(\mathbf {y} ).}$

Definicja we współrzędnych nie ulega zmianie: forma kwadratowa to jednorodna, kwadratowa funkcja wielomianowa. Podobnie definiuje się pozostałe pojęcia i dowodzi równoważności definicji abstrakcyjnej i z ustaloną bazą. Zasadniczą różnicą jest postać macierzowa: macierz ${\displaystyle \mathbf {N} }$ formy kwadratowej ${\displaystyle Q}$ jest górnotrójkątna, nie zaś symetryczna; macierz ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {N} +\mathbf {N} ^{\mathrm {T} }}$ odpowiadającej jej formy dwuliniowej ${\displaystyle B}$ jest z kolei symetryczna z zerami na przekątnej głównej^[q]. Niekiedy powyższą definicję stosuje się dla ciał dowolnej charakterystyki^[r], jednak przyjęcie jej sprawia, iż forma dwuliniowa stowarzyszona z formą kwadratową wyrażającą się sumą kwadratów nie daje standardowego iloczynu skalarnego, lecz jego dwukrotność.

Jest ${\displaystyle B=0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy macierzy ${\displaystyle \mathbf {B} }$ spoza przekątnej głównej znikają (równoważnie: ${\displaystyle B=0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle Q}$ jest diagonalizowalna w pewnej bazie). Gdy charakterystyka nie jest równa 2, wyrazy spoza przekątnej dowolnej formy kwadratowej zerują się w odpowiedniej bazie, jednakże wyrazy spoza przekątnej głównej w ${\displaystyle Q}$ są potrzebne w ciele charakterystyki 2, gdy stowarzyszona z nią symetryczna forma dwuliniowa nie jest zerowa. Z definicji dowolna forma kwadratowa (w ciele charakterystyki 2) ma powiązaną symetryczną formę dwuliniową, choć odpowiedniość między formami kwadratowymi a symetrycznymi formami dwuliniowymi nie jest iniektywna, ani surjektywna: różne formy kwadratowe (np. ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\mapsto x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}}$ oraz ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\mapsto x_{1}x_{2}}$) mogą mieć tę samą symetryczną formę dwuliniową, a pewne symetryczne formy dwuliniowe (np. ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\mapsto x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}}$) nie są formami dwuliniowymi jakichkolwiek form kwadratowych. W języku macierzy każda forma kwadratowa w ciele charakterystyki różnej od 2 może być zapisana jako ${\displaystyle \mathbf {X} \cdot \mathbf {MX} ,}$ gdzie ${\displaystyle \mathbf {M} }$ jest pewną macierzą symetryczną, nie jest to jednak prawda w ciele charakterystyki 2. Forma kwadratowa przedstawiona w baie z wyrazami poza przekątną nie jest reprezentowana przez macierz symetryczną w jakiekolwiek bazie. Jednakże odpowiadająca jej forma dwuliniowa jest zawsze reprezentowana za pomocą macierzy symetrycznej (zob. wyżej). Dlatego nie wolno mylić macierzy ${\displaystyle \mathbf {N} }$ formy kwadratowej w ciele charakterystyki 2 z macierzą postaci ${\displaystyle \mathbf {B} }$ jej formy dwuliniowej.

Kluczową obserwacją jest to, że symetryczna forma dwuliniowa stowarzyszona z formą kwadratową w ciele charakterystyki 2 jest alternująca:

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=Q(2\mathbf {x} )-2Q(\mathbf {x} )=Q(\mathbf {0} )-0=0.}$

W ciele charakterystyki innej niż 2 można odzyskać ${\displaystyle Q}$ z ${\displaystyle B,}$ gdyż ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=Q(\mathbf {x} ),}$ ale dla charakterystyki 2 jest ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=0.}$ Ponieważ dowolna alternująca forma dwuliniowa jest symetryczna w ciele charakterystyki 2, to o odpowiedniości z ${\displaystyle Q}$ do ${\displaystyle B}$ w ciele charakterystyki 2 należy myśleć jako o przekształceniu form kwadratowych w alternujące (a nie tylko symetryczna) formy dwuliniowe. Wówczas jest ono surjektywne, ale nadal nigdy nie jest iniektywne, tzn. nie istnieje żaden odpowiednik polaryzacji dla charakterystyki 2, a więc sama wiedza o ${\displaystyle B}$ nie wystarcza do odzyskania informacji o ${\displaystyle Q.}$ Zatem choć w ciele charakterystyki różnej od 2 pewne pojęcia można wyrazić równie dobrze w języku form kwadratowych bądź symetrycznych form kwadratowych, to w ciele charakterystyki 2 ich wyrażenie w obu tych językach może być niemożliwe.

Typy form

• forma
• forma liniowa
• forma półtoraliniowa
• forma dwuliniowa

Własności

• określoność formy

Przykłady form w geometrii

• metryka euklidesowa
• metryka pseudoriemannowska
• metryka riemannowska

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979, s. 123–138.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, s. 73–77.
• Więsław, Witold: Algebra geometryczna. Skrypt dla studentów matematyki. Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 1974.
• Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
• Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. ISBN 83-01-03903-5.
• Newelski, Ludomir: Algebra liniowa II, Rozdział 14. W przygotowaniu.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Quadratic Form, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Encyklopedia Mathematica (j. ang.)