Funkcje hiperboliczne

Funkcje hiperboliczne – zbiór sześciu funkcji zdefiniowanych przez działania arytmetyczne na funkcji wykładniczej^[1]:

nazwa	symbole	wzory
sinus hiperboliczny	${\displaystyle \sinh x,\operatorname {sh} x}$	${\displaystyle {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$
cosinus hiperboliczny	${\displaystyle \cosh x,\operatorname {ch} x}$	${\displaystyle {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$
tangens hiperboliczny	${\displaystyle \operatorname {tgh} x,\operatorname {th} x}$	${\displaystyle {\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}$
cotangens hiperboliczny	${\displaystyle \operatorname {ctgh} x,\operatorname {cth} x}$	${\displaystyle {\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}$
secans hiperboliczny	${\displaystyle \operatorname {sech} x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}$
cosecans hiperboliczny	${\displaystyle \operatorname {cosech} x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}$

Funkcje te mogą mieć dziedzinę rzeczywistą lub zespoloną i zalicza się je do funkcji elementarnych^[1]. Mają własności analogiczne do funkcji trygonometrycznych. Nazwę swoją zawdzięczają temu, że para liczb (cosh(t),sinh(t)) tworzy wykres hiperboli ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ (jej prawej, dodatniej części).

Przez funkcje hiperboliczne można definiować funkcje polowe, inaczej funkcje area lub areafunkcje – są to funkcje odwrotne tych hiperbolicznych, wyrażane też przez logarytmy.

Do nauki wprowadził je włoski matematyk Vincenzo Riccati, który publikował swoje rozważania w Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, wydawanym między 1757 a 1762 rokiem^[2]. Nadał im on nazwy sinus i cosinus hiperbolico i zastosował skróty Sh i Ch, stosowane do dziś w Rosji i we Francji.

Szwajcarski matematyk Johann Heinrich Lambert upowszechnił te funkcje, pokazując ich zastosowanie w trygonometrii w dziele Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques (1762). Lambert zostawił im nazwy zaproponowane przez Riccatiego, ale nadał im skróty sinh i cosh stosowane do dnia dzisiejszego^[3].

 Zobacz też: funkcje trygonometryczne.

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci ${\displaystyle (\cos x,\sin x)}$ jest okręgiem (jednostkowym), analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci ${\displaystyle (\cosh x,\sinh x)}$ wyznacza hiperbolę.

Prawdziwe są również wzory:

${\displaystyle \sinh 2t=2\sinh t\cosh t,}$

${\displaystyle \cosh 2t=\cosh ^{2}t+\sinh ^{2}t,}$

${\displaystyle \sinh x+\cosh x=e^{x}.}$

Ponadto korzystając ze wzoru Eulera

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, wyrażony w liczbach zespolonych:

${\displaystyle \sinh ix=i\sin x,}$

${\displaystyle \cosh ix=\cos x,}$

${\displaystyle \operatorname {tgh} ix=i\operatorname {tg} x,}$

${\displaystyle \operatorname {ctgh} ix=-i\operatorname {ctg} x,}$

skąd:

${\displaystyle \sinh x=-i\sin ix,}$

${\displaystyle \cosh x=\cos ix,}$

${\displaystyle \operatorname {tgh} x=-i\operatorname {tg} ix,}$

${\displaystyle \operatorname {ctgh} x=i\operatorname {ctg} ix.}$

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem ${\displaystyle 2\pi i}$ (sinh, cosh, sech, csech), albo ${\displaystyle \pi i}$ (tgh, ctgh).

• Sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i funkcją rosnącą.
• Cosinus hiperboliczny jest funkcją parzystą i funkcją rosnącą dla ${\displaystyle x>0}$ i malejącą dla ${\displaystyle x<0.}$
• Tangens hiperboliczny jest funkcją nieparzystą.

Jeśli ${\displaystyle \varphi }$ oznacza złotą proporcję, to:

• ${\displaystyle \sinh \ln \varphi ={\tfrac {1}{2}},}$
• ${\displaystyle \cosh \ln \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}.}$

 Osobny artykuł: jedynka hiperboliczna.

Odpowiednikiem „jedynki trygonometrycznej”

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$

jest tzw. „jedynka hiperboliczna”:

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1.}$

Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji hiperbolicznych

${\displaystyle \sinh 'x=\cosh x,}$

${\displaystyle \cosh 'x=\sinh x,}$

${\displaystyle \operatorname {tgh} 'x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}=1-\operatorname {tgh} ^{2}x,}$

${\displaystyle \operatorname {ctgh} 'x={\frac {-1}{\sinh ^{2}x}}=1-\operatorname {ctgh} ^{2}x.}$

Szeregi potęgowe

${\displaystyle \sinh z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{7}}{7!}}+\dots ,}$

${\displaystyle \cosh z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\dots }$

Iloczyny nieskończone

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),}$

${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right).}$

• złota funkcja

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hyperbolic Functions, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Hyperbolic functions (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].