En mathématiques, un espace fonctionnel est un ensemble d'applications d'une certaine forme d'un ensemble ${\displaystyle X}$ vers un ensemble ${\displaystyle Y.}$

Il est appelé « espace » car, selon les cas, il peut être un espace topologique, un espace vectoriel, ou les deux.

L'ensemble des applications de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$ est noté ${\displaystyle Y^{X}}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,Y)}$. Pour la première écriture, on veillera à ne pas se méprendre dans l'ordre des ensembles. Un bon moyen de le retenir est en l'associant avec ce résultat classique de dénombrement : il y a, si ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont finis, ${\displaystyle \mathrm {Card} (Y)^{\mathrm {Card} (X)}}$ applications de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$.

Les espaces fonctionnels apparaissent dans différents domaines des mathématiques :

• en théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble ${\displaystyle E}$ peut être identifié à ${\displaystyle \{0,1\}^{E}}$. En effet, se donner une partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle E}$, cela revient à « faire l'appel », à construire une fonction qui à ${\displaystyle x\in E}$ associe ${\displaystyle 1}$ si ${\displaystyle x\in A}$ et ${\displaystyle 0}$ sinon (mathématiquement on construit la fonction caractéristique de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle E}$) ;
• en algèbre linéaire, l'ensemble des applications linéaires d'un espace vectoriel ${\displaystyle E}$ vers un autre ${\displaystyle F}$ sur un même corps commutatif est lui-même un espace vectoriel ;
• en analyse fonctionnelle, on a la même construction avec les applications linéaires continues, sur des espaces vectoriels topologiques, typiquement : des espaces de fonctions à valeurs réelles ou complexes, munis d'une certaine topologie ; les exemples les plus connus sont les espaces hilbertiens et les espaces de Banach ;
• en analyse fonctionnelle, l'ensemble des applications de l'ensemble des entiers naturels dans un ensemble quelconque ${\displaystyle X}$ est appelé espace de suites. Il est formé de l'ensemble des suites d'éléments de ${\displaystyle X}$ ;
• en topologie, on peut essayer de construire une topologie sur l'espace des fonctions continues d'un espace topologique X dans un autre Y, dont l'utilité dépend de la nature des espaces. Une topologie couramment employée est la topologie compacte-ouverte. Un autre topologie possible est la topologie produit sur l'espace des fonctions (pas nécessairement continues) ${\displaystyle Y^{X}}$. Dans ce contexte, cette topologie est aussi désignée sous le nom de topologie de la convergence simple ;
• en topologie algébrique, l'étude de la théorie de l'homotopie repose essentiellement sur l'étude des invariants discrets des espaces de fonctions ;
• en théorie des processus stochastiques, le problème technique de base est comment construire une mesure de probabilité sur un espace de fonctions constitué de chemins de processus (fonctions du temps) ;
• en théorie des catégories, un espace fonctionnel est appelé un objet exponentiel. Il apparaît d'une part comme le bifoncteur Hom ; mais en tant que foncteur (simple), du type [X, -], il apparaît comme foncteur adjoint à un foncteur de type (-×X) sur des objets ;
• en lambda-calcul et en programmation fonctionnelle, des types d'espaces de fonctions sont employés pour exprimer l'idée de fonction d'ordre supérieur ;
• en théorie des domaines, l'idée fondamentale est de trouver des constructions à partir d'ordres partiels qui peuvent modéliser le lambda-calcul, en créant une catégorie cartésienne fermée.

• un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique sur R dont la topologie est définie par une famille de semi-normes (ou de façon équivalente possédant des bases de voisinages convexes) ;
• un espace de Fréchet est un espace localement convexe séparé dont la topologie est définie par une famille dénombrable de semi-normes (ou de façon équivalente : métrisable) et complet (pour n'importe laquelle des distances qui définissent sa topologie) ;
• un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet ;
• un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est associée à un produit scalaire.

• espace de Schwartz des fonctions de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ à décroissance rapide et son dual topologique, l'espace des distributions tempérées ;
• espaces Lp ;
• espaces de Lorentz, espaces d'interpolation des espaces ${\displaystyle L^{p}}$ ;
• ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} )}$ espace des fonctions continues à support compact muni de la norme de la convergence uniforme ;
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ espace des fonctions continues bornées ;
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(\mathbb {R} )}$ espace des fonctions continues qui tendent vers zéro à l'infini ;
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ espace des fonctions classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ ;
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}^{\infty }}$ espace des fonctions C∞ à support compact, muni des normes uniformes de la fonction et de ses dérivées ;
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ espace des fonctions ${\displaystyle C^{\infty }}$ à support compact, muni cette fois d'une certaine topologie limite inductive ;
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ espace des fonctions holomorphes ;
• ${\displaystyle W^{k,p}\,}$ espaces de Sobolev ;
• espaces de Besov ;
• applications affines par morceaux ;
• espace des fonctions continues muni de la topologie compacte-ouverte ;
• espace des fonctions muni de la topologie de la convergence simple ;
• espaces de Hardy ;
• espaces de Hölder.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Function space » (voir la liste des auteurs).

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