En mathématiques, une matrice carrée est une matrice avec autant de lignes que de colonnes.

Lorsque les coefficients sont pris dans un anneau unitaire R, l’ensemble des matrices carrées de taille n (c’est-à-dire avec n lignes et n colonnes) constitue également un anneau non commutatif, noté ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$, dont la matrice identité est l’élément unité. L’ensemble des matrices diagonales constitue un sous-anneau isomorphe à Rⁿ.

En plus du rang et de la transposition existant sur toutes les matrices, chaque matrice carrée a une trace égale à la somme de ses éléments diagonaux.

Si R est commutatif, l’anneau ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ admet même une structure d’algèbre associative, munie de la forme multilinéaire du déterminant qui permet notamment de définir le polynôme caractéristique d’une matrice et de caractériser les matrices inversibles.

Si les coefficients sont pris dans un corps commutatif k, les matrices de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(k)}$ représentent les endomorphismes de kⁿ ou de n’importe quel espace vectoriel sur k de dimension n muni d’une base. Leurs valeurs propres et vecteurs propres permettent d'en obtenir une forme réduite (voire une diagonalisation) par conjugaison avec une matrice inversible, ce qui facilite l’expression des puissances voire de leur exponentielle.

De multiples classes de matrices peuvent être définies parmi les matrices carrées, notamment lorsque les coefficients sont entiers, réels ou complexes : matrices triangulaires, symétriques ou antisymétriques, orthogonales, hermitiennes, unitaires… Différentes normes d’algèbre peuvent être définies pour enrichir la structure de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )}$.

Certains résultats peuvent s’exprimer dans le contexte plus large de coefficients pris dans un pseudo-anneau (anneau sans unité) ou un demi-anneau (sans symétrique pour la première loi, par exemple une algèbre de Boole).

Dans une matrice carrée, la taille décrit le nombre de lignes qui est égal au nombre de colonnes.

Les coefficients diagonaux sont ceux dont le numéro de ligne est égal au numéro de colonne. Lorsque la matrice est présentée comme un tableau, ils sont lisibles sur la diagonale principale qui rejoint le coin supérieur gauche au coin inférieur droit.

Les coefficients sur-diagonaux sont ceux dont le numéro de ligne est strictement inférieur au numéro de colonne et sont lisibles au-dessus de la diagonale principale. Les coefficients sous-diagonaux sont à l’inverse ceux dont le numéro de ligne est strictement supérieur au numéro de colonne, lisibles en dessous de la diagonale principale.

Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls en dehors de la diagonale principale. On la note à l’aide de l’opérateur Diag et la liste de ses coefficients diagonaux :

${\displaystyle \operatorname {Diag} (d_{1},\dots ,d_{n})={\begin{pmatrix}d_{1}&&(0)\\&\ddots &\\(0)&&d_{n}\end{pmatrix}}}$

Une matrice scalaire est une matrice diagonale dont les tous les coefficients diagonaux sont égaux. En particulier, la matrice identité (de taille n) est la matrice scalaire dont tous les coefficients diagonaux valent 1, notée I_n ou I.

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont tous les coefficients sous-diagonaux sont nuls. Une triangulaire inférieure a tous ses coefficients sur-diagonaux nuls.

Une matrice compagnon est une matrice dont les coefficients valent 1 juste sous la diagonale principale et sont nuls partout ailleurs (sauf éventuellement sur la dernière colonne).

Si R est un corps comme ℝ ou ℂ, ou plus généralement un anneau unitaire quelconque, et si n un entier strictement positif, l’ensemble ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ des matrices carrées de taille n à coefficients dans R est muni d’une opération d’addition des coefficients terme à terme, et d'une opération de multiplication interne induite par le produit matriciel. La matrice identité I est neutre pour cette multiplication : pour toute matrice carrée A de taille n,

${\displaystyle A\times I_{n}=I_{n}\times A=A}$.

Cette multiplication est associative et distributive par rapport à l’addition, mais même si R est commutatif, dès lors que n > 1 la multiplication des matrices carrées n’est pas commutative : il existe des matrices A et B telles que AB ≠ BA.

Plus formellement, l’addition et la multiplication induisent une structure d’anneau unitaire qui contient l’ensemble des matrices scalaires comme sous-anneau isomorphe à R, et même l’ensemble des matrices diagonales comme sous-anneau isomorphe à Rⁿ.

Les matrices carrées de même taille à coefficients dans un même anneau R peuvent toutes être multipliées entre elles mais cela n’implique pas qu’on puisse diviser par une matrice. En effet, il est possible d’avoir une égalité AB = AC avec des matrices carrées de même taille et A non nulle sans que B soit égal à C.

Si deux matrices carrées A et B de même taille vérifient les égalités AB = BA = I, on dit qu'elles sont inverses l'une de l'autre. Certaines matrices n’ont pas d’inverse, mais lorsqu’il en existe une elle est unique^[1] et dans ce cas on peut noter B = A⁻¹. À défaut de pouvoir diviser par A, on peut alors multiplier par son inverse, ce qui permet de résoudre certaines équations linéaires

${\displaystyle AX=Y\iff X=A^{-1}Y}$

La détermination de l'inversibilité d'une matrice et le calcul de son inverse le cas échéant sont obtenus par des techniques spécifiques dépendant de la structure de l'anneau de coefficients, de la taille de la matrice et éventuellement le degré de précision souhaité.

L'ensemble des matrices inversibles dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ forme un groupe appelé groupe linéaire et noté ${\displaystyle {\mathcal {GL}}_{n}(R)}$.

La multiplication scalaire (à gauche ou à droite) d'une matrice M par un élément λ de R revient à multiplier M (du même côté) par la matrice scalaire dont les coefficients diagonaux valent tous λ (et qui peut se noter λ.I) :

• à gauche, ${\displaystyle \lambda .M=(\lambda .I)\times M}$ ;
• à droite, ${\displaystyle M.\lambda =M\times (\lambda .I)}$.

Si l’anneau de coefficients est commutatif, ou plus généralement si l’élément λ est central dans R, les deux multiplications scalaires à gauche et à droite coïncident.

Réciproquement, si une matrice commute avec toutes les autres alors elle est de la forme λ.I avec λ central dans R.

L’addition et la multiplication scalaire induisent une structure de R-module (voire de bimodule) libre isomorphe à ${\displaystyle R^{n\times n}}$.

Si l'anneau R est commutatif, ces opérations font de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ une R-algèbre associative unitaire.

Une matrice carrée peut être multipliée par elle-même et la répétition de ces multiplications définit la suite de ses puissances par récurrence :

${\displaystyle A^{0}=I}$

${\displaystyle A^{k+1}=A^{k}\times A}$

Pour une même matrice A, toutes ses puissances commutent entre elles.

Si l'anneau de coefficients R est commutatif, par combinaison linéaire de ces puissances on peut définir n'importe quel polynôme de matrice P(A) avec ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ et ${\displaystyle P\in R[X]}$. Dans ce cas, tous les polynômes d'une même matrice commutent entre eux.

Plus généralement, si deux matrices commutent, tout polynôme de l'une commute avec tout polynôme de l'autre, et dans ce cas les identités remarquables du second degré usuelles sont satisfaites, ainsi que leurs généralisation pour des exposants supérieurs, qui sont la formule du binôme de Newton et la formule de Bernoulli. En particulier, puisque toute matrice commute avec une matrice scalaire :

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}(-\lambda )^{k-i}A^{i}}$

Un polynôme annulateur d'une matrice A est un polynôme P tel que P(A) = 0.

Si les coefficients sont pris dans un corps commutatif, l'ensemble des polynômes annulateurs est un idéal principal engendré par un polynôme appelé polynôme minimal (unique à multiplication près par un scalaire).

Toute matrice carrée ${\displaystyle A=(a_{i,j})\in {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ représente un endomorphisme de R-module à droite (voire d'espace vectoriel si R est un corps) ${\displaystyle u\in \operatorname {L} (R^{n})}$ par

${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\right)_{1\leq i\leq n}}$

Réciproquement, tout endomorphisme de R-module libre à droite est ainsi représenté par une matrice dont les colonnes correspondent aux images des éléments de la base canonique de la forme (0, ... , 0, 1, 0, ... , 1).

La multiplication matricielle traduit alors la composition des endomorphismes.

Une matrice carrée est idempotente (c'est-à-dire égale à son carré) si et seulement si elle représente un projecteur.

Elle est involutive (c'est-à-dire égale à sa propre inverse) si elle représente une symétrie vectorielle.

Une matrice carrée est dite nilpotente si l'une de ses puissances est la matrice nulle.

Deux matrices A et B de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ sont dites semblables s'il existe une matrice inversible P telle que

${\displaystyle A=PBP^{-1}}$.

Cette relation de similitude définit une relation d'équivalence sur les matrices. Elle exprime le fait que les matrices A et B représentent le même endomorphisme de Rⁿ dans des bases différentes. La matrice P correspond alors à une matrice de passage de la deuxième base vers la première.

Deux matrices semblables sont forcément équivalentes et ont donc le même rang (lorsque ce dernier est bien défini, par exemple si l'anneau de coefficients est commutatif ou noethérien) mais la réciproque est fausse en général.

La description d'un système complet d'invariants (caractérisant des matrices semblables) est plus délicate. On appelle ces invariants les invariants de similitude. D'un point de vue algorithmique, la réduction d'une matrice quelconque à une matrice sous une forme privilégiée se fait par un algorithme inspiré de celui du pivot de Gauss, voir théorème des facteurs invariants.

Dans toute cette section, l'anneau R des coefficients sera supposé commutatif.

La trace d'une matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux : Si ${\displaystyle A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}}$,

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}}$.

Cet opérateur linéaire a la particularité d'être invariant par interversion des facteurs d'un produit de deux matrices (qu'elles soient carrées ou rectangulaires) :

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$.

Le déterminant d'une matrice carrée peut être défini par une somme indexée par le groupe symétrique et utilisant la fonction signature ε des permutations sur l'ensemble ${\displaystyle \{1,...,n\}}$ :

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}$

La fonction déterminant est multiplicative, c'est-à-dire qu'elle vérifie pour toutes les matrices A et B :

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$.

En outre, le déterminant de l'identité vaut 1, donc une matrice inversible dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ aura toujours un déterminant inversible dans R avec

${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}$.

Réciproquement, toute matrice avec un déterminant inversible dans R est inversible dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ et son inverse peut s'écrire avec la transposée de la comatrice :

${\displaystyle A^{-1}=\det(A)^{-1}.\operatorname {Com} (A)^{\top }}$.

Le déterminant permet de définir le polynôme caractéristique de degré n et unitaire dans R[X] par

${\displaystyle \chi _{A}(X)=\det(XI-A)}$

Ce polynôme est un invariant de similitude : si ${\displaystyle A=PBP^{-1}}$ alors

${\displaystyle \chi _{A}(X)=\det(XI-PBP^{-1})=\det(P(XI-B)P^{-1})=\det(P)\det(XI-B)\det(P)^{-1}=\chi _{B}(X)}$.

Par conséquent, tous ses coefficients sont également invariants, et en particulier son coefficient constant qui est (au signe près) le déterminant de la matrice et son coefficient sous-dominant (en degré n−1) qui est l'opposé de la trace.

Le polynôme caractéristique constitue aussi un polynôme annulateur de la matrice en vertu du théorème de Cayley-Hamilton.

Soit A est une matrice carrée de taille n à coefficients dans un anneau commutatif R, avec X un vecteur colonne non nulle de taille n et λ dans R. On dit que X est un vecteur propre de A pour la valeur propre λ si

${\displaystyle AX=\lambda X}$.

En particulier, cela signifie que le vecteur X appartient au noyau de la matrice ${\displaystyle A-\lambda I}$, qu'on appelle espace propre associé à la valeur propre λ, et qu'on note :

${\displaystyle E_{\lambda }(A)=\operatorname {Ker} (A-\lambda I)}$.

Si R est un corps commutatif, le noyau ${\displaystyle \operatorname {Ker} (A-\lambda I)}$ est non trivial si et seulement si le déterminant ${\displaystyle \det(A-\lambda I)}$ est égal à zéro, ce qui revient à dire que λ est une racine du polynôme caractéristique. Il y a donc au maximum n valeurs propres, et chaque vecteur propre n'est associé qu'à une seule valeur propre. Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre et on montre même que les espaces propres sont en somme directe.

Sans cette hypothèse, le noyau ${\displaystyle \operatorname {Ker} (A-\lambda I)}$ est non trivial si et seulement si le déterminant ${\displaystyle \det(A-\lambda I)}$ est égal à zéro ou est un diviseur de zéro^[2]. Il peut exister plus de n valeurs propres, et un même vecteur propre peut être associé à plusieurs valeurs propres. Par exemple, avec ${\displaystyle R=\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$ et ${\displaystyle n=1}$, la matrice ${\displaystyle A=(2)}$ a 4 valeurs propres :

• 2 pour tous les vecteurs non nuls ;
• 5 pour les vecteurs 2 et 4 ;
• 0 et 4 pour le vecteur 3 uniquement.

Dans tous les cas, l'ensemble des valeurs propres d'une matrice carrée A forme son spectre, noté Sp(A) ou σ(A), qui est invariant par similitude mais dépend de l'anneau de coefficients choisi : pour une même matrice à coefficients entiers, le spectre peut contenir des valeurs propres réelles non entières et même des valeurs propres supplémentaires dans l'ensemble des nombres complexes.

La réduction d'une matrice consiste à trouver une matrice semblable ayant une forme simple comme une matrice diagonale ou triangulaire, une matrice compagnon, ou une matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux ont eux-même une forme simple.

Les techniques utilisées servent aussi à la réduction d'endomorphisme.

Une matrice A est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, ce qui revient à dire que l'anneau Rⁿ admet une base de vecteurs propres de A. Dans ce cas, on peut définir une matrice inversible P dont les colonnes représentent ces vecteurs propres, et une matrice D diagonale représentant les valeurs propres associées dans le même ordre, pour obtenir la relation :

${\displaystyle A=PDP^{-1}}$.

Les puissances de la matrice A peuvent alors s'écrire

${\displaystyle A^{k}=PD^{k}P^{-1}}$.

Lorsque les coefficients sont pris dans un corps commutatif, une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Une matrice A est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire. C'est le cas des matrices diagonalisables et des matrices déjà triangulaires, mais pas des matrices de rotation dans le plan ou dans l'espace qui ne sont pas déjà des symétries (c'est-à-dire d'un angle non nul et non plat).

Lorsque les coefficients sont pris dans un corps commutatif, une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé, (ce qui est toujours le cas sur un corps algébriquement clos comme celui des complexes). Dans ce cas, la réduction de Jordan permet même de trouver une matrice semblable diagonale par blocs dont les blocs sont tous de Jordan, c'est-à-dire avec des valeurs identiques sur la diagonale, la valeur 1 sur toute la ligne juste au dessus et la valeur zéro partout ailleurs :

${\displaystyle J_{n}(\lambda )={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\dots &0\\0&\lambda &1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\\vdots &&\ddots &\ddots &1\\0&\dots &\dots &0&\lambda \end{pmatrix}}}$.

Cette réduction est unique à ordre près des blocs.

Cette réduction démontre aussi la décomposition de Dunford de n'importe quelle matrice trigonalisable en somme d'une matrice diagonalisable et d'une matrice nilpotente qui commutent.

Lorsque les coefficients sont pris dans un corps commutatif, toute matrice est semblable à une unique matrice diagonale par blocs dont les blocs sont des matrices compagnons de taille décroissante, avec les polynômes caractéristiques des blocs également décroissants pour la relation de divisibilité.

Une matrice normale est une matrice à coefficients réels qui commute avec sa transposée, ou plus généralement une matrice carrée à coefficients complexes qui commute avec son adjointe, qui est la conjuguée de sa transposée  :

${\displaystyle A^{*}={\overline {A^{\top }}}}$;

Une matrice carrée à coefficients réels est dite orthogonale si elle est l'inverse de sa transposée.

L'ensemble des matrices orthogonales de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$ forme un sous-groupe du groupe linéaire, appelé groupe orthogonal et noté ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}(\mathbb {R} )}$.

L'ensemble des matrices orthogonales de déterminant 1 forme un sous-groupe du précédent, appelé groupe spécial orthogonal et noté ${\displaystyle {\mathcal {SO}}_{n}(\mathbb {R} )}$.

Une matrice carrée à coefficients réels est dite symétrique si elle est égale à sa transposée. Elle est dite antisymétrique si elle est opposée à sa transposée.

L'ensemble des matrices symétriques S_n(ℝ) et l'ensemble des matrices antisymétriques A_n(ℝ) forment deux sous-espaces supplémentaires orthogonaux de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$, ce qui implique notamment que toute matrice carrée réelle se décompose d'une unique manière en somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(A+A^{\top })+{\frac {1}{2}}(A-A^{\top })}$.

Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée (c'est-à-dire via une matrice de passage orthogonale). Toute matrice antisymétrique réelle est diagonalisable sur le corps des complexes avec des valeurs propres imaginaires pures.

Une matrice carrée à coefficients complexes est dite hermitienne si elle est égale à sa matrice adjointe.

Elle est dite unitaire si elle est inverse de sa matrice adjointe.

L'ensemble des matrices unitaires de taille n forme un groupe appelé groupe unitaire et noté U_n.

Dans ce paragraphe, l'anneau K des scalaires sera supposé commutatif. Dans la plupart des applications, ce sera un corps commutatif.

Le cas non commutatif existe aussi mais il faut prendre quelques précautions et les notations deviennent trop lourdes pour cet article.

Soient E un K-module libre et B = (e₁, … , e_n) une base de E.

Soit ${\displaystyle f:E\times E\to K}$ une forme bilinéaire. On définit la matrice de ${\displaystyle f}$ dans la base B par la formule suivante :

${\displaystyle {\textrm {mat}}_{B}\,f=(f(e_{i},e_{j}))_{1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq n}={\begin{pmatrix}f(e_{1},e_{1})&f(e_{1},e_{2})&\dots &f(e_{1},e_{n})\\f(e_{2},e_{1})&f(e_{2},e_{2})&\dots &f(e_{2},e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f(e_{n},e_{1})&f(e_{n},e_{2})&\dots &f(e_{n},e_{n})\\\end{pmatrix}}}$

Dans le cas particulier où K = ℝ et f est un produit scalaire, cette matrice est appelée matrice de Gram.

La matrice mat_B f est symétrique (respectivement antisymétrique) si et seulement si la forme bilinéaire ${\displaystyle f}$ est symétrique (respectivement antisymétrique).

Soient x et y deux vecteurs de E. Notons X et Y leurs coordonnées dans la base B et A = mat_B f. On a alors la formule : ${\displaystyle f(x,y)={}^{\operatorname {t} }\!X~A~Y}$.

Deux formes bilinéaires sont égales si et seulement si elles ont la même matrice dans une base donnée.

Lorsque K est un corps de caractéristique différente de 2, on appelle matrice d'une forme quadratique la matrice de la forme bilinéaire symétrique dont est issue la forme quadratique.

Soient E un K-module libre et B, C deux bases de E. Soit ${\displaystyle f:E\times E\to K}$ une forme bilinéaire.

Notons M = mat_B f la matrice de f dans la base B et M' = mat_C f la matrice de f dans la base C. Notons P = mat_{B C} la matrice de passage. On a alors la formule de changement de base pour une forme bilinéaire (à ne pas confondre avec celle pour une application linéaire) :

${\displaystyle M'={}^{\operatorname {t} }\!P~M~P}$

Deux matrices carrées A et B sont dites congruentes s'il existe une matrice inversible P telle que

${\displaystyle A={}^{\operatorname {t} }\!P~B~P~.}$

Deux matrices congruentes sont deux matrices qui représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes.

Lorsque K est un corps de caractéristique différente de 2, toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale. L'algorithme utilisé s'appelle réduction de Gauss à ne pas confondre avec le pivot de Gauss.

Le calcul de l’inverse ou la résolution de systèmes peut être facilité par certaines décompositions en produit de matrices avec des formes ou des propriétés particulières, en plus de la décomposition en valeurs singulières qui s’applique aussi aux matrices rectangulaires.

Il s’agit de décomposer une matrice A comme produit d’une matrice triangulaire inférieure L (pour lower) et d’une triangulaire supérieure U (pour upper), quitte éventuellement à devoir multiplier la matrice initiale par une matrice inversible P.

${\displaystyle PA=LU}$

Cette technique est fondée sur l’algorithme du pivot de Gauss.

Toute matrice carrée A à coefficients réels peut s’écrire comme le produit d’une matrice orthogonale Q et d’une matrice triangulaire supérieure R.

${\displaystyle A=QR}$

Diverses méthodes permettent d’obtenir cette décomposition qui illustre le procédé de Gram-Schmidt.

Toute matrice carrée A à coefficients réels se décompose en un produit d’une matrice orthogonale Q et d’une matrice symétrique positive S

${\displaystyle A=QS}$

et cette décomposition est unique si la matrice A est inversible.

De même, toute matrice carrée A à coefficients complexes se décompose en un produit d’une matrice unitaire et d’une matrice hermitienne positive, avec unicité si A est inversible.

Toute matrice carrée A à coefficients complexes peut se décomposer à l’aide d’une matrice triangulaire supérieure T et d’une matrice unitaire U sous la forme

${\displaystyle A=UTU^{*}}$

Si la matrice A est réelle et trigonalisable alors les matrices T et U peuvent être choisies à coefficients réels.

Toute matrice symétrique définie positive A peut s’écrire comme produit d’une matrice triangulaire L et de sa transposée :

${\displaystyle A=LL^{\top }}$

Dans tout ce paragraphe, K = ℝ ou ℂ.

Une norme matricielle est une norme d'algèbre sur l'algèbre M_n(K), c'est-à-dire une norme d'espace vectoriel qui est de plus sous-multiplicative.

Le rayon spectral d'une matrice carrée A à coefficients complexes est le plus grand module de ses valeurs propres. Il est égal à la borne inférieure des normes matricielles de A.

Sur M_n(K), toute norme N subordonnée à une norme sur Kⁿ est une norme d'algèbre vérifiant de plus N(I_n) = 1 (la réciproque est fausse).

On peut étendre aux matrices carrées réelles voire complexes certaines fonctions d'une variable réelle qui peuvent être définies comme des séries entières, avec ou non, selon les fonctions, des limitations concernant la convergence de la série.

Soit A ∈ M_n(ℂ), soit N une norme d'algèbre et ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ une série entière de rayon de convergence R.

Alors si N(A) < R, la série ${\displaystyle \sum a_{n}A^{n}}$ est absolument convergente. (On le montre en utilisant que N(Aⁿ) ≤ N(A)ⁿ.)

Pour toute matrice carrée réelle ou complexe A, on peut définir son exponentielle par :

${\displaystyle \exp(A)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\frac {A^{2}}{2}}+{\frac {A^{3}}{6}}+\dots =\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {1}{k!}}A^{k}}$, une série qui est toujours convergente.

Le calcul effectif de cette exponentielle se fait par réduction de la matrice.

L'exponentielle joue un rôle central dans l'étude des systèmes linéaires d'équations différentielles.

• J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse, Cours de mathématiques, Dunod, 1980
• Rached Mneimné, Réduction des endomorphismes, Calvage et Mounet, Paris, 2006 (ISBN 978-2-916352-01-5)
• P. Wira, Un rappel sur les matrices, support de cours, Université de Haute Alsace, Mulhouse, 2000

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