Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego

Ten artykuł dotyczy zbieżności ciągów monotonicznych. Zobacz też: Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej ciągu funkcji mierzalnych.

Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego – twierdzenie w analizie matematycznej, ustanawiające warunek konieczny i wystarczający na to, by monotoniczny ciąg liczbowy był zbieżny.

Niech ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ będzie monotonicznym ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy ciąg ten ma (skończoną) granicę wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony^[1].

Załóżmy, że ciąg ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest niemalejący oraz ograniczony. Zbiór ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ jest niepusty i ograniczony z góry, więc na mocy aksjomatu ciągłości ma kres górny, niech ${\displaystyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}.}$ Dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ istnieje takie naturalne ${\displaystyle N,}$ że ${\displaystyle a_{N}>c-\varepsilon ,}$ jako że w przeciwnym wypadku ${\displaystyle c-\varepsilon }$ byłoby ograniczeniem górnym ${\displaystyle \{a_{n}\},}$ mniejszym od ${\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\},}$ co przeczy definicji ${\displaystyle c,}$ jako najmniejszego ograniczenia górnego. Skoro ${\displaystyle (a_{n})}$ jest niemalejący, to

${\displaystyle \forall n>N,|c-a_{n}|=c-a_{n}\leqslant c-a_{N}<\varepsilon ,}$

co oznacza, że ciąg ${\displaystyle (a_{n})}$ jest zbieżny i jego granicą jest ${\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}.}$

Implikacja w drugą stronę wynika z faktu, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Dowód dla ciągu nierosnącego jest analogiczny – wykorzystuje własność mówiącą, że niepusty i ograniczony z dołu zbiór liczb rzeczywistych ma infimum

• ciąg
• granica ciągu i granica funkcji
• zbieżność monotoniczna

• Tadeusz Krasiński: Analiza matematyczna. Funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003. ISBN 83-7171-636-2. Brak numerów stron w książce
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1982, s. 50. ISBN 83-01-02846-7.

• Paweł Lubowiecki, Ciągi liczbowe cz. III – Zbieżność ciągów ograniczonych i monotonicznych, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].