正十二面體

正十二面體
	; (按這裡觀看旋轉模型)
類別	柏拉圖立體; 正多面体
對偶多面體	正二十面體
識別
名稱	正十二面體
參考索引	U23, C26, W5
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	doe
數學表示法
施萊夫利符號	{5,3}
威佐夫符號; （英语：Wythoff symbol）	3 \| 2 5
康威表示法	D
性質
面	12
邊	30
頂點	20
歐拉特徵數	F=12, E=30, V=20 （χ=2）
二面角	116.56505° = arccos(-1/√5)
組成與佈局
面的種類	正五邊形
面的佈局; （英语：Face configuration）	12個{5}
頂點圖	5.5.5
對稱性
對稱群	Ih
特性
	正凸多面體
圖像
	; 5.5.5; （頂點圖）
	; （展開圖）
	查; 论; 编;

正十二面體是由12個正五邊形所組成的正多面體，它共有20个顶点、30条棱、160条对角线，被施莱夫利符号{5,3}所表示，与正二十面体互成对偶。它是一种只具有正四面体对称性（英语：tetrahedral symmetry）的五角十二面体的特殊形式，五角十二面体的另一种特殊形式是具有正八面体对称性（英语：Octahedral Symmetry）的卡塔兰多面体菱形十二面体，它（加上所有其它的五角十二面体）都与正十二面体在拓扑上等价。正十二面體还是截顶五方偏方面體的特例。其四維類比為正一百二十胞體。

十二面體

性质

面的图形：正五边形
面的数目：12
边的数目：30
顶点数目：20
二面角角度： ${\boldsymbol {\theta }}=\arccos \left(-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)=2\arctan \varphi \approx 116.5650512^{\circ }$
如果正十二面体棱长为a：
表面积： $A=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}\approx 20.645728807a^{2}$
体积： $V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}\approx 7.6631189606a^{3}$
外接球半径： $r_{u}=a{\frac {\sqrt {3}}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.401258538\cdot a$
内切球半径： $r_{i}=a{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\frac {11}{10}}{\sqrt {5}}}}\approx 1.113516364\cdot a$
中分球半径： $r_{m}=a{\frac {1}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.309016994\cdot a$

我们亦可以将上述三式写作：

外接球半径：

r_{u}=a\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\varphi

内切球半径：

r_{i}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3-\varphi }}}}

中分球半径：

r_{m}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2}}

（在这里φ是黄金分割数，φ = ^1+√5/₂）

注意到棱长为a的正十二面体的外接球同样外接于棱长为φa的立方体，并且其内切球半径（也即面心距）等于棱长为φa的正五边形的边心距。

对偶多面体：正二十面体

坐标系

如果我们以正十二面体的形心为原点建立三维直角坐标系，那么其20个顶点可被描述为：
(0,±φ,±1/φ)
(±1/φ,0,±φ)
(±φ,±1/φ,0)
(±1,±1,±1)
其中φ = (1+√5)/2，是黃金分割數，也被写作τ，约等于1.618。
该正十二面体棱长为²/_φ=√5–1。其外接球半径正好为√3。

二维投影和对称性

正十二面体有两种特殊的正交投影，分别正对着其一个顶点和一个正五边形面，对应着A₂和H₂考克斯特平面（英语：Coxeter plane）

正交投影
正对于	顶点	棱	面
图像
投影对称性	[[3]] = [6]	[2]	[[5]] = [10]

在透视投影中，如果如果投影中心正在正十二面体外接球正对其一面的一点，则你能得到其施莱格尔图像（英语：schlegel diagram），我们亦可以将其视为球面多面体（英语：Spherical polyhedron）而使用球极投影。这些方法也被用于可视化其四维类比正一百二十胞体，一个由120个全等的正十二面体组成的四维凸正多胞体。

投影	正交投影	透视投影
投影	正交投影	施莱格尔图像（英语：schlegel diagram）	球极投影
正十二面体
正120胞体

几何关联

正十二面体是一个无穷家族——截對角偏方面体的第3个成员（截對角五方偏方面体）。这类多面体可以被看作是将偏方面体在旋转对称轴上的两个相对的顶点截去而成。
正十二面体的星形化体（英语：Stellation）构成了4个星形正多面體中的3个。
我们可以在正十二面体的20个顶点中选取5组这样的顶点，使任意两个顶点的连线都是正十二面体正五边形面的一条对角线，这样能构成正十二面体的内接立方体，5个内接立方体一起构成了——复合多面体——五复合立方体；我们还可以进一步对内接立方体做交错操作，得到正十二面体的内接正四面体，如果我们只在内接立方体中取一个正四面体，则5个正四面体构成了有手征性的复合多面体——五复合四面体；如果取两个，则10个正四面体构成了复合多面体——十复合四面体，这三个复合多面体都是正十二面体的小面化体（英语：faceting）。
正十二面体的完全对称群是正二十面体对称群（英语：Icosahedral symmetry）I_h，考克斯特群[5,3]，群阶120，还有一个抽象群结构A₅×Z₂。