Ten artykuł od 2013-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji.

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Funkcja całkowalna – funkcja, dla której istnieje całka w sensie danej teorii całki (Riemanna, Lebesgue’a, Henstocka-Kurzweila, Stieltjesa itp.)^[1]

Twierdzenie Newtona-Leibniza:

Jeśli ${\displaystyle f}$ jest ciągła na przedziale skończonym, a ${\displaystyle F}$ jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zachodzi wzór Newtona-Leibniza

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a).}$

Funkcje ciągłe są więc całkowalne na przedziałach skończonych. To samo dotyczy funkcji ograniczonych, ale nieciągłych w przeliczalnej liczbie punktów przedziału całkowania – wtedy całkując na poszczególnych odcinkach, wewnątrz których funkcja jest ciągła, a następnie sumując uzyskane wyniki, uzyska się całkę z całego przedziału.

Całki niewłaściwe to całki określane na przedziałach nieskończonych lub dla funkcji, które rozbiegają się do nieskończoności w punktach wewnętrznych lub brzegowych przedziału całkowania. Istnienie tych całek jest zależne od spełnienia poniżej podanych warunków.

Niech dla każdego ${\displaystyle A>a}$ funkcja ${\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }$

jest całkowalna w przedziale skończonym ${\displaystyle [a,A].}$ Wtedy granicę

${\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{A\to \infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx}$

nazywa się całką niewłaściwą funkcji ${\displaystyle f}$ w granicach od ${\displaystyle a}$ do ${\displaystyle \infty .}$

Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od ${\displaystyle -\infty }$ do ${\displaystyle a}$ i od ${\displaystyle -\infty }$ do ${\displaystyle \infty {:}}$

Przykład: Całka z funkcji ${\displaystyle f(x)=\cos x}$ nie istnieje na przedziale nieskończonym, np. ${\displaystyle [0,+\infty ),}$ gdyż:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }\cos(x)dx=\lim _{A\to \infty }\int \limits _{a}^{A}\cos(x)dx=\lim _{A\to \infty }\sin(x){\Big |}_{0}^{A}}$${\displaystyle =\lim _{A\to \infty }\sin(A)-\sin(0)=\lim _{A\to \infty }\sin(A)}$

Jednak granica z funkcji sinus nie istnieje w nieskończoności, gdyż funkcja ta oscyluje miedzy ${\displaystyle -1}$ a ${\displaystyle +1.}$ Z tego powodu nie istnieje całka niewłaściwa z funkcji cosinus.

Niech

${\displaystyle f\colon [a,b)\to \mathbb {R} }$

będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale ${\displaystyle [a,b-\eta ],}$ gdzie ${\displaystyle 0<\eta <b-a,}$ oraz jest nieograniczona w każdym przedziale ${\displaystyle [b-\eta ,b)}$ na lewo od punktu ${\displaystyle b}$ (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji ${\displaystyle f}$). Granicę

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x){\mbox{d}}x=\lim _{\eta \to 0}\int \limits _{a}^{b-\eta }f(x){\mbox{d}}x}$

nazywa się całką niewłaściwą funkcji ${\displaystyle f}$ w przedziale ${\displaystyle [a,b].}$ Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówi się, że jest ona rozbieżna.

Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwa, gdy punkt osobliwy jest a lewej strony przedziału całkowania, a także, gdy jest ma obu końcach przedziału całkowania.

Jeśli zaś w przedziale całkowania jest więcej punktów osobliwych, to całkę liczy się jako sumę całek niewłaściwych, obliczonych na odcinkach, wewnątrz których funkcja jest ciągła.

Przykład: Rozważmy funkcję ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}}$ na przedziale ${\displaystyle (0,1].}$ Chcemy obliczyć całkę

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx.}$

Ta całka jest niewłaściwa, ponieważ funkcja ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {x}}}}$ ma nieciągłość w punkcie ${\displaystyle x=0.}$

Zapisujemy całkę niewłaściwą jako granicę

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx}$

Teraz obliczamy całkę oznaczoną: ${\displaystyle \int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=2x^{\frac {1}{2}}{\Big |}_{\epsilon }^{1}=2(1)-2(\epsilon ^{\frac {1}{2}})=2-2{\sqrt {\epsilon }}}$

Dalej, obliczamy granicę: ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(2-2{\sqrt {\epsilon }}\right)=2-2\cdot 0=2}$

Wynik: całka ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx}$ jest niewłaściwa, ale jest zbieżna i jej wartość wynosi 2.

Funkcję zmiennej rzeczywistej bądź zespolonej nazywamy całkowalną z kwadratem na danym przedziale (a, b), jeżeli całka kwadratu jej wartości bezwzględnej / modułu jest skończona, przy czym pojęcie to dotyczy zarówno całek na przedziałach skończonych, jak i całek niewłaściwych – określonych na przedziałach nieskończonych lub na przedziałach, gdzie funkcja rozbiega do nieskończoności, tj.

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}dx<+\infty }$

– całka oznaczona

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }|f(x)|^{2}dx<+\infty }$

– jeden z możliwych typów całek niewłaściwych

Zbiór wszystkich funkcji mierzalnych całkowalnych z kwadratem, w sensie Lebesgue’a, stanowi przestrzeń liniową, która jest przestrzenią Hilberta – jest to tzw. przestrzeń L², w której funkcje równe prawie wszędzie są ze sobą utożsamiane (formalnie L² jest przestrzenią ilorazową przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem przez podprzestrzeń funkcji, które znikają prawie wszędzie).

Funkcje tego rodzaju są szczególnie użyteczne w mechanice kwantowej, ponieważ funkcje falowe muszą być całkowalne z kwadratem na całej przestrzeni, aby teoria dawała sensowne fizycznie rozwiązania.

 Osobny artykuł: całka Lebesgue’a.

Dla danego zbioru ${\displaystyle X}$ z określoną na nim σ-algebrą ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ i miarą ${\displaystyle \mu }$ określoną na ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ rzeczywista funkcja ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ jest całkowalna, jeżeli tak jej część dodatnia ${\displaystyle f^{+}=\max(f,0),}$ jak i ujemna ${\displaystyle f^{-}=\max(-f,0)}$ są funkcjami mierzalnymi o skończonej całce Lebesgue’a. Jest to równoważne temu, by skończona była całka z funkcji ${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$ Wówczas całkę Lebesgue’a funkcji ${\displaystyle f}$ definiuje się wówczas wzorem

${\displaystyle \int f:=\int f^{+}-\int f^{-}.}$

Czasami funkcję całkowalną w powyższym sensie nazywa się sumowalną, zaś termin „funkcja całkowalna” zarezerwowany jest dla funkcji ${\displaystyle f,}$ dla której skończona jest choć jedna z całek po prawej stronie powyższego wzoru.

Dla liczby rzeczywistej ${\displaystyle p\geqslant 0}$ funkcję ${\displaystyle f}$ nazywa się ${\displaystyle p}$-sumowalną, jeżeli sumowalna jest funkcja ${\displaystyle |f|^{p}.}$ Wielu autorów stosuje jednak to nazewnictwo tylko wtedy, gdy ${\displaystyle f}$ jest ciągiem, a ${\displaystyle \mu }$ jest dyskretna; w przypadku ogólnym nazywając ${\displaystyle f}$ funkcją ${\displaystyle p}$-całkowalną. Dla ${\displaystyle p=1}$ mówi się czasem, że ${\displaystyle f}$ jest bezwzględnie sumowalna / całkowalna.

Przestrzenie L^p funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a w p-tej potędze są jednym z głównych obiektów badań analizy funkcjonalnej.

• Funkcja lokalnie całkowalna